Sprawdź, czy czworokąt jest kwadratem

[Brydzia123]

Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Sprawdź, czy czworokąt o wierzchołkach:

K = (-3, - 1)
L = (1, -2)
M = (2, 2)
N = (-2, 3)
jest kwadratem. Odpowiedź uzasadnij.

[eresh]

\(|KL|=\sqrt{(1+3)^2+(-2+1)^2}=\sqrt{17}\\
|LM|=\sqrt{(2-1)^2+(2+2)^2}=\sqrt{17}\\
|MN|=\sqrt{(2+2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{17}\\
|KN|=\sqrt{(-3+2)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{17}\\
a_{kl}=\frac{-1+2}{-3-1}=\frac{-1}{4}\\
a_{lm}=\frac{2+2}{2-1}=4\\
a_{mn}=\frac{3-2}{-2-2}=-\frac{1}{4}\\
a_{nk}=\frac{3+1}{-2+3}=4\\
KL \perp LM\\
LM\perp MN\\
MN\perp NK\\
NK\perp KL\)
czworokąt jest kwadratem

[Brydzia123]

ups, zapomniałam powiedzieć, że to jest zadanie dla klasy 8,

owszem długości boków można policzyć na tym poziomie, ale jak wykazać prostopadłości boków?

Dziękuję serdecznie:)

[radagast]

Albo tak:
Przekątne czworokąta
\(\vec{KM}= \left[ 5,3\right]\)
\(\vec{LN}= \left[ 3,-5\right]\)
\(\vec{KM} \circ\vec{LN}=0\) zatem są prostopadłe .
\(|\vec{KM} |=|\vec{LN}|\) zatem są równe.
Wniosek: czworokąt jest kwadratem

[radagast]

A nie , dla 8 klasy trzeba inaczej.
A właściwie nie. Można tak. Równość jest oczywista,a prostopadłość też o ile się dzieciom powie jak z wektora zrobić prostopadły (zamienić kolejność i przy jednej współrzędnej zmienić znak).

[Panko]

Można to zrobić na siłę
Policz cztery boki ( dostajesz ,że jest rombem)
Znajdź współrzędne środków przekątnych KL , MN ( w podstawie programowej kl 8 jest)
Jeśli to ten sam punkt to zastosuj cztery razy Pitagorasa odwrotnego( nie wiem czy jest w pp) do powstałych czterech trójkątów.
Stwierdź ,że są prostokątne.
Sprawdź licząc odpowiednie odcinki ( boki) że one te trójkąty parami przystają i już. ( podstawa programowa kl 7,8)
Tylko ,czy ktoś sobie z nas nie żartuje ?

[kerajs]

Może zamiast sprawdzać prostopadłość (boków lub przekątnych) wystarczy sprawdzić równość przekątnych ?

[radagast]

Nie wystarczy. Patrz prostokąt.