Promień półokręgu.

[MiedzianyDawid]

W trójkącie ABC dane są długości boków: \(|AB|=3 \sqrt{2}, |BC|= 3- \sqrt{3}, |AC|=2 \sqrt{3}.\) W ten trójkąt wpisano półokrąg, którego średnica zawiera się w boku AB, styczny do boków AC i BC odpowiednio w punktach K i L, jak na rysunku. Wyznacz promień tego półokręgu.

[eresh]

S- środek okręgu
\(P_{ABC}=P_{ACS}+P_{BCS}\\
P_{ABC}=\frac{1}{2}|AC||KS|+\frac{1}{2}|CB||SL|\\
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}r+\frac{1}{2}(3-\sqrt{3})r\\
P_{ABC}=\frac{1}{2}r(2\sqrt{3}+3-\sqrt{3})\\
P_{ABC}=\frac{1}{2}r(\sqrt{3}+3)\)

tw. cosinusów:
\((3\sqrt{2})^2=(2\sqrt{3})^2+(3-\sqrt{3})^2-2\cdot 2\sqrt{3}(3-\sqrt{3})\cos\alpha\\
18=12+12-6\sqrt{3}-4\sqrt{3}(3-\sqrt{3})\cos\alpha\\
4\sqrt{3}(3-\sqrt{3})\cos\alpha=6-6\sqrt{3}\\
\cos\alpha=\frac{6(1-\sqrt{3})}{12\sqrt{3}-12}\\
\cos\alpha=\frac{6(1-\sqrt{3})}{12(\sqrt{3}-1)}\\
\cos\alpha =-\frac{1}{2}\\
\alpha =120^{\circ}\\
\sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(P_{ABC}=\frac{1}{2}|AC|CB|\sin\alpha\\
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}(3-\sqrt{3})\\
P_{ABC}=\frac{3}{2}(3-\sqrt{3})\)

\(\frac{3}{2}(3-\sqrt{3})=\frac{1}{2}r(\sqrt{3}+3)\\
3(3-\sqrt{3})=r(\sqrt{3}+3)\\
r=\frac{3(3-\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}\\
r=6-3\sqrt{3}\)