Strona 1 z 1

Zależności pól w kwadracie

: 14 sty 2019, 14:39
autor: Januszgolenia
W kwadracie ABCD, w którym punkt E jest środkiem boku CD, poprowadzono przekątną BD i odcinek AE, które przecięły się w punkcie P Uzasadnij, że suma pól trójkątów ABP i DEP stanowi 5/12 pola kwadratu ABCD.

: 14 sty 2019, 14:51
autor: eresh
a - długość boku kwadratu
\(h_1\) - wysokość trójkąta \(ABP\) poprowadzona z P
\(h_2\) - wysokość trójkąta \(DEP\) poprowadzona z P

trójkąt ABP jest podobny do trójkąta DEP i \(\frac{h_1}{h_2}=\frac{a}{0,5a}=2\So h_1=2h_2\)
\(h_1+h_2=a\So 3h_2=a\So h_2=\frac{1}{3}a\)
\(P_{ABP}+P_{DEP}=\frac{1}{2}ah_1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}ah_2=ah_2+\frac{1}{4}ah_2=\frac{5}{4}ah_2=\frac{5}{4}a\cdot\frac{1}{3}a=\frac{5}{12}a^2=\frac{5}{12}P_{ABCD}\)