Trójkąt

[Kowal1998]

Oblicz \(\tg \alpha,+ \tg \beta + \tg \gamma\) wiedząc, że \(\alpha , \beta , \gamma\) są kątami w trójkącie oraz \(\tg \alpha , \tg \beta , \tg \gamma\) są liczbami Naturalnymi

[Panko]

może tak ( wersja co najwyżej robocza) ?
skorzystaj z tożsamości trygonometrycznej \(tg( \alpha + \beta + \gamma ) = \frac{ \tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma - \tg \alpha \tg \beta \tg \gamma }{.....}\) , mianownik poszukasz w sieci
wtedy \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\) co daje \(\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma - \tg \alpha \tg \beta \tg \gamma =0\)
ponieważ ma to być w dziedzinie naturalnej to dostajesz do rozwiązania równanie diofantyczne \(x+y+z =xyz\)
mozesz założyć ,że \(x \le y \le z\) dlaczego ? (wielomian symetryczny)
wtedy \(x+y+z =xyz\) , \(3z \ge x+y+z =xyz\) , \(3 \ge xy\) , \(3 \ge xy \ge x^2\) ,\(x \le \sqrt{3}\) , czyli x=1
dostajesz równanie \(1+y+z = yz\) , \(2 =(y-1)(z-1)\) , czyli \(y-1=1,z-1=2\) lub przeciwnie
ostatecznie dla zadania jest \(x=1, y=2,z=3\) lub permutacje
czyli odp (?) to \(\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma =1*2*3=6\)
zostaje sprawdzić czy takowy trójkąt istnieje !