3 Zadania. Geometria płaszczyzny

[Ariel91]

Zadanie 1

Drzewo o wysokości 15m rzuca cień o długości 20m.Podaj miarę kąta jaki tworzy promień słoneczny z powierzchnią ziemi.

Zadanie2

Ramiona trójkąta mają po 8cm a kąt między ramionami ma miarę 50stopni.Oblicz pole i obwód tego trójkąta (wynik zaookrąglij do części setnych)




Zadanie3
Oblicz wartość pozostałych funcji trygonometrycznych kąta wiedząc że ctg = cztery-trzecie

[Pol]

zadanie 1 (rys pierwszy z lewej)

drzewo |AB| = 15
cien |BC| = 20
kąt \(\alpha\)

\(\tan \alpha = \frac {|AB|} {|BC|} = \frac {15} {20} = \frac 3 4\)

w celu sprawdzenia o jaki mniej więcej kąt chodzi można się posłużyć tablicami trygonometrycznymi, z tablic:

\(\tan {37} = 0,7536\)

czyli kąt wynosi około 37 stopni

źródło: http://images23.fotosik.pl/99/08018052ab7d8d2c.jpg

zadanie 2 (rysunek pierwszy z prawej)

\(|DE| = |DF| = 8\\
\beta = 50 \\
P = \frac 1 2 \cdot |DF| \cdot |EG|\)

\(\sin \beta = \frac {|EG|}{|DE|}\\
|EG| = |DE|\sin \beta\)

\(P = \frac 1 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin \beta\)

żeby obliczyć obwód, można opuścić wysokość z wierzchołka D, podzieli nam kat 50 stopni na pół, z powstałego trójkąt można obliczyć połowę boku |EF|

\(\sin {\frac {\beta} 2} = \frac {\frac 1 2 |EF|} {|DF|}\\
|EF| = 2 \cdot |DF| \sin {\frac {\beta} 2}\)

no i obwód = |EF| + |DE| + |DF|

zadanie 3

\(ctg \alpha = \frac 4 3 \\
\tan \alpha = \frac 1 {ctg \alpha} = \frac 3 4\)

\(\tan \alpha = \frac {\sin \alpha} {\cos \alpha} = \frac 3 4\\
{\sin \alpha}^2 + {\cos \alpha}^2 = 1 \\\)

po rozwiązaniu układu mamy:

\(\cos \alpha = \frac 4 5\)
lub
\(\cos \alpha = -\frac 4 5\)

ponieważ w zadaniu jest że ctg > 0 (1 lub 3 ćwiartka) wówczas należy rozpatrzeć 2 przypadki:

1. ćwiartka:
\(\sin \alpha = \frac 3 5\\
\cos \alpha = \frac 4 5\\
\tan \alpha = \frac 3 4\\
ctg \alpha = \frac 4 3\)

lub

3. ćwiartka:
\(\sin \alpha = -\frac 3 5\\
\cos \alpha = -\frac 4 5\\
\tan \alpha = \frac 3 4\\
ctg \alpha = \frac 4 3\)