trójkąt

[marex692]

Dany jest trójkąt ABC. Punkt D jest symetryczny do punktu B względem punktu A, punkt E jest symetryczny do punktu C względem punktu B, a punkt F jest symetryczny do punktu A względem punktu C. Wykaż, że pole trójkąta DEF jest 7 razy większe od pola trójkąta ABC.

[eresh]

[math]|AB|=a\\
|DB|=2a\\
|AC|=b\\
|AF|=2b\\
|CB|=c\\
|CE|=2c\\
|\angle CAB|=\alpha\\
|\angle ABC|=\beta\\
|\angle ACB|=180^{\circ}-(\alpha+\beta)\\
P_{DEF}=P_{AFD}+P_{DBE}+P_{FCE}+P_{ABC}\\
P_{DEF}=\frac{1}{2}a\cdot 2b\cdot \sin (180^{\circ}-\alpha)+\frac{1}{2}b\cdot 2c\cdot \sin (\alpha+\beta)+\frac{1}{2}c\cdot 2a\cdot \sin (180^{\circ}-\beta)+P_{ABC}\\
P_{DEF}=ab\sin \alpha+bc\sin (180^{\circ}-(\alpha+\beta))+ac\sin \beta+P_{ABC}\\
P_{DEF}=2P_{ABC}+2P_{ABC}+2P_{ABC}+P_{ABC}\\
P_{DEF}=7P_{ABC}