trójkąt

[enta]

Na środkowej CD trójkąta ABC wybrano punkt M taki że |CM|:||CD|=4:3. Prosta przechodząca przez punkt M i równoległa do boku BC przecina bok AC w punkcie K. Wyznacz stosunek długości CK:KA.

[eresh]

Bez tytułu.png (11.9 KiB) Przejrzano 1021 razy

\(|CM|=4x\\
|MD|=3x\\
|AD|=\frac{1}{2}a\\
|BD|=\frac{1}{2}a\)

Trójkąt MDE jest podobny do trójkąta DCB (kkk)
\(\frac{|CD|}{|DB|}=\frac{|MD|}{|DE|}\\
\frac{7x}{0,5a}=\frac{3x}{|DE|}\\
7|DE|=1,5a\\
|DE|=\frac{3}{14}a\\\)

\(|AE|=\frac{1}{2}a+\frac{3}{14}a=\frac{5}{7}a\)

trójkąt ACB jest podobny do trójkąta AEK (kkk)
\(\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{|AK|}{|AL|}\\
\frac{|AK|+|KC|}{a}=\frac{|AK|}{\frac{5}{7}a}\\
\frac{5}{7}|AK|+\frac{5}{7}|KC|=|AK|\\
\frac{5}{7}|KC|=\frac{2}{7}|AK|\\
5|KC|=2|AK|\\
\frac{|KC|}{|AK|}=\frac{2}{5}\)

[enta]

dziękuję