Wykazanie zależności w trójkącie

[Januszgolenia]

W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest równość \(IBCI^2-IACI^2=IABI \cdot IACI\)

[kerajs]

Z tw. sinusów:
\(\frac{\sin \beta }{|AC|}= \frac{\sin 2\beta }{|BC|} \So \frac{1 }{|AC|}= \frac{2\cos \beta }{|BC|}\)
Z tw. kosinusów:
\(|AC|^2=|BC|^2+|AB|^2-2|AB||BC|\cos \beta \\
|AC|^2=|BC|^2+|AB|^2-|AB||BC| \frac{BC}{AC} \\
|AC|^3=|AC||BC|^2+|AC||AB|^2-|AB||BC|^2 \\
|AC|(|AC|^2-|AB|^2)=|BC|^2(|AC|-|AB|)\\
|AC|(|AC|-|AB|)(|AC|+|AB|)=|BC|^2(|AC|-|AB|)\\
|AC|^2+|AC||AB|=|BC|^2\\
|AC||AB|=|BC|^2-|AC|^2\)