planimetria zadania

[mzkaoq]

11. Dany jest trapez prostokątny o podstawach dolnej i górnej a i b oraz krótszym boku c.
oblicz odległości x i y punktu przecięcia przekątnych trapezu od podstawy a i boku c

odp. x= \(\frac{ac}{a+b}\) y= \(\frac{ab}{a+b}\)

19. oblicz pole trójkąta którego dwa boki wynoszą 27 i 29, a dośrodkowa boku trzeciego
równa jest 26.

-odp. 270

[kerajs]

11)
A=(0,0), B=(0,c), C=(b,c), D=(a,0)
Przekątna AC lezy na prostej \(y= \frac{c}{b}x\)
Przekątna BD lezy na prostej \(y= \frac{-c}{a}x+c\)
Współrzędne punktu przecięcia tych prostych to szukane odległości (choć o przestawionych nazwach).

19)
Co to jest dośrodkowa?

Gdyby to była środkowa opadająca na bok c, to jej długość s wynosi:
\(s= \frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2b^2-c^2}\)
(można to wyliczyć z tw. kosinusów).
Stąd:
\(26= \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 27^2+2 \cdot 29^2-c^2}\\
c=2 \sqrt{109}\)
Z wzoru Herona:
\(P= \sqrt{ \frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} \cdot \frac{a-b+c}{2} \cdot \frac{-a+b+c}{2} } = \sqrt{(28+ \sqrt{109} )(28- \sqrt{109} )(-1+ \sqrt{109} )(1+ \sqrt{109} )} =\\= \sqrt{(28^2-109)(109-1)}= \sqrt{675 \cdot 108}=270\)

[mzkaoq]

Za zadania wielki plus sam próbowałem z tw. Cosinusów ale na wzór Herona nie wpadłem bo w sumie nikt z niego nie korzysta xd i mam pytanie czy 11 da się zrobić inaczej niż na układzie współrzędnych ?

[radagast]

czy 11 da się zrobić inaczej niż na układzie współrzędnych ?

Oczywiście.
Z twierdzenia Talesa.

ScreenHunter_388.jpg (6.73 KiB) Przejrzano 1430 razy

\(\begin{cases} \frac{y}{a}= \frac{c-x}{c}\\ \frac{y}{b}= \frac{x}{c} \end{cases}\)
Wychodzi, jak trzeba