Przekątna trapezu i stosunek pól

[Einveru]

Przekątna trapezu równoramiennego ABCD tworzy z dłuższą podstawą AB kąt \(\alpha\), a z ramieniem AD - kąt \(\beta\). Wyznacz stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABC.

[kerajs]

Niech rzutami punktów C,D na podstawę AB będą punkty C' i D', oraz niech \(|AD|=k\)
Wtedy:
\(\frac{P_{ACD}}{P_{ABC}}= \frac{ \frac{1}{2}|AC||AD|\sin \beta }{\frac{1}{2}|AC||AB|\sin \alpha }=
\frac{ |AD|\sin \beta }{|AB|\sin \alpha }=\frac{ k\sin \beta }{(|AC'|+|C'B|)\sin \alpha }=
\frac{ k\sin \beta }{(|CC'|\ctg \alpha +k\cos( \alpha + \beta ))\sin \alpha }= \\
=\frac{ k\sin \beta }{(k\sin ( \alpha + \beta )\ctg \alpha +k \cos( \alpha + \beta ))\sin \alpha }=
\frac{ \sin \beta }{\sin ( \alpha + \beta )\cos \alpha + \cos( \alpha + \beta )\sin \alpha }= \frac{ \sin \beta }{\sin ( 2\alpha + \beta ) }\)

[radagast]

albo tak:

ScreenHunter_308.jpg (9.14 KiB) Przejrzano 5550 razy

\(\frac{P_{ABC}}{P_{ACD}}= \frac{ \frac{1}{2} ad\sin \alpha }{\frac{1}{2} bd\sin \alpha } = \frac{a}{b}\)
z tw sinusów dla trójkąta ABC :\(\frac{c}{\sin \alpha }=\frac{a}{\sin (\pi-(2 \alpha + \beta ))}=\frac{a}{\sin (2 \alpha + \beta )}\)
z tw sinusów dla trójkąta ACD :\(\frac{c}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin \beta }\)
zatem \(\frac{a}{b}= \frac{\sin (2 \alpha + \beta )}{\sin \beta }\)