dowód - przekątne czworokata

malwinka1058 · Post autor: **malwinka1058** » 21 mar 2018, 23:24

Wykaż że jeśli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają jednakowe długości

radagast · Post autor: **radagast** » 22 mar 2018, 08:41

: ScreenHunter_275.jpg (17.42 KiB) Przejrzano 1672 razy

Po połączeniu środków kolejnych boków dowolnego czworokąta otrzymujemy równoległobok (wniosek z tw. odwrotnego do tw. Talesa), a odcinki łączące środki przeciwległych boków tego czworokąta to jego (równoległoboku) przekątne.
Zatem po połączeniu środków przeciwległych boków naszego czworokąta otrzymujemy romb (równoległobok o prostopadłych przekątnych).
Romb, jak wiadomo, ma boki równej długości, a tu są one odpowiednio równe połowie każdej z dwóch przekątnych (wniosek z tw. Talesa). Zatem przekątne są równe.
CBDO

kerajs · Post autor: **kerajs** » 23 mar 2018, 02:15

Niech odcinki łączące środki przeciwległych boków pokrywają się z osiami układu współrzędnych. Niech w pierwszej ćwiartce leży wierzchołek K=(a,b), w drugiej punkt L=(-a,d), a w czwartej N=(c,-b). Ostatnim wierzchołkiem musi być M=(-c,-d)
Stąd:
\(|KM|= \sqrt{(-c-a)^2+(-d-b)^2} \\
|LN|= \sqrt{(c-(-a))^2+(-b-d)^2}= \sqrt{(-c-a)^2+(-d-b)^2} =|KM|\)