Zad 1
W trójkącie równoramiennym ABC podstawa ma długość x, a kąt przy wierzchołku ma miarę 120 stopni. Na bokach
AB, BC i CA wybrano punkty odpowiednio K, L, M tak, że AK=3KB, BL=2LC, CM=4MA. Oblicz długości boków trójkąta KLM i jego pole
Zad 2
Kąt przy wierzchołku B trójkąta ABC jest równy 60 stopni. Dwusieczne AD i CE przecinają się w punkcie M. Wykaż , że MD=ME
Trójkąt, dwusieczne i długości boków
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Łukasz1234
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 16 mar 2018, 12:41
- Podziękowania: 2 razy
- Płeć:
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
Re: Trójkąt, dwusieczne i długości boków
Zad 2
Kąt przy wierzchołku B trójkąta ABC jest równy 60 stopni. Dwusieczne AD i CE przecinają się w punkcie M. Wykaż , że MD=ME
Oznaczenia jak na rysunku.
1. Wyznaczam kąt \(\gamma\)
\(2\alpha+2\gamma+60^o=180^o\)
\(2\alpha+2\gamma=180^o-60^0\)
\(2(\alpha+\gamma)=120^o\ /:2\)
\(\alpha+\gamma=60^o\)
\(\gamma=60^o-\alpha\)
2. Obliczam \(|\angle EMD|\)
Z sumy kątów wewnętrznych trójkąta ADB
\(|\angle ADB|=180^o-\alpha-60^o=120^o-\alpha\)
Z sumy kątów wewnętrznych trójkąta EBC
\(|\angle BEC|=180^o-\gamma-60^o\)
\(|\angle BEC|=120^o-\gamma\)
\(|\angle BEC|=120^o-(60^o-\alpha)\)
\(|\angle BEC|=120^o-60^o+\alpha\)
\(|\angle BEC|=60^o+\alpha\)
Z sumy kątów wewnętrznych EBDM
\(|\angle EMD|=360^o-(|\angle BEC|+60^o+|\angle ADB|)\)
\(|\angle EMD|=360^o-(60^o-\alpha+60^o+120^o+\alpha)\)
\(|\angle EMD|=360^o-240^o\)
\(|\angle EMD|=120^o\)
Na czworokącie EBDM da się więc opisać okrąg
3. Obliczam \(|\angle EOM|\)
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku okręgu.
\(|\angle EOM|=2|\angle EBM|\)
\(|\angle EOM|=2\cdot30^o\)
\(|\angle EOM|=60^o\)
Czyli trójkąt EOM jest równoboczny.
\(|ME|=|OE|=|OM|=r\)
4. Obliczam \(|\angle MOD|\)
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku okręgu.
\(|\angle MOD|=2|\angle MBD|\)
\(|\angle MOD|=2\cdot30^o\)
\(|\angle MOD|=60^o\)
Czyli trójkąt OMD jest równoboczny.
\(|MD|=|OM|=|OD|=r=|ME|\)
Kąt przy wierzchołku B trójkąta ABC jest równy 60 stopni. Dwusieczne AD i CE przecinają się w punkcie M. Wykaż , że MD=ME
Oznaczenia jak na rysunku.
1. Wyznaczam kąt \(\gamma\)
\(2\alpha+2\gamma+60^o=180^o\)
\(2\alpha+2\gamma=180^o-60^0\)
\(2(\alpha+\gamma)=120^o\ /:2\)
\(\alpha+\gamma=60^o\)
\(\gamma=60^o-\alpha\)
2. Obliczam \(|\angle EMD|\)
Z sumy kątów wewnętrznych trójkąta ADB
\(|\angle ADB|=180^o-\alpha-60^o=120^o-\alpha\)
Z sumy kątów wewnętrznych trójkąta EBC
\(|\angle BEC|=180^o-\gamma-60^o\)
\(|\angle BEC|=120^o-\gamma\)
\(|\angle BEC|=120^o-(60^o-\alpha)\)
\(|\angle BEC|=120^o-60^o+\alpha\)
\(|\angle BEC|=60^o+\alpha\)
Z sumy kątów wewnętrznych EBDM
\(|\angle EMD|=360^o-(|\angle BEC|+60^o+|\angle ADB|)\)
\(|\angle EMD|=360^o-(60^o-\alpha+60^o+120^o+\alpha)\)
\(|\angle EMD|=360^o-240^o\)
\(|\angle EMD|=120^o\)
Na czworokącie EBDM da się więc opisać okrąg
3. Obliczam \(|\angle EOM|\)
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku okręgu.
\(|\angle EOM|=2|\angle EBM|\)
\(|\angle EOM|=2\cdot30^o\)
\(|\angle EOM|=60^o\)
Czyli trójkąt EOM jest równoboczny.
\(|ME|=|OE|=|OM|=r\)
4. Obliczam \(|\angle MOD|\)
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku okręgu.
\(|\angle MOD|=2|\angle MBD|\)
\(|\angle MOD|=2\cdot30^o\)
\(|\angle MOD|=60^o\)
Czyli trójkąt OMD jest równoboczny.
\(|MD|=|OM|=|OD|=r=|ME|\)
- ghgh.png (77.75 KiB) Przejrzano 1871 razy
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.