okrąg wpisany w trójkąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
inter
- Często tu bywam
- Posty: 171
- Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
- Podziękowania: 14 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
okrąg wpisany w trójkąt
Trzy okręgi są styczne do dwóch boków trójkata oraz do okręgu wpiasnego w trójkąt. Promienie tych okregów wynoszą 1, 4, 9. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt.
- Załączniki
-
- okregi.JPG (18.64 KiB) Przejrzano 1068 razy
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: okrąg wpisany w trójkąt
\(\alpha , \beta , \gamma\) ---kąty wewnętrzne \(\Delta\)
\(r\) ---szukany promień ( \(r>9 )\)
wtedy : \(\sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{r-1}{r+1}\) , \(\sin \frac{ \beta }{2} = \frac{r-4}{r+4}\) , \(\sin \frac{ \gamma }{2} = \frac{r-9}{r+9}\)
oraz \(\sin \frac{ \gamma }{2} = \cos ( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2} )\) =\(\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \frac{ \beta }{2}\) \(- \sin \frac{ \alpha }{2} \cdot \sin \frac{ \beta }{2}\)
dostajemy równanko wielomianowe :
\(( \frac{r-9}{r+9} + \frac{r^2-5r+4}{r^2+5r+4} )^2\) =\(\frac{64r^2}{ (r^2+5r+4)^2}\)
co daje jako jeden z pierwiastków dodatnich \(r=11\)
\(r\) ---szukany promień ( \(r>9 )\)
wtedy : \(\sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{r-1}{r+1}\) , \(\sin \frac{ \beta }{2} = \frac{r-4}{r+4}\) , \(\sin \frac{ \gamma }{2} = \frac{r-9}{r+9}\)
oraz \(\sin \frac{ \gamma }{2} = \cos ( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2} )\) =\(\cos \frac{ \alpha }{2} \cdot \cos \frac{ \beta }{2}\) \(- \sin \frac{ \alpha }{2} \cdot \sin \frac{ \beta }{2}\)
dostajemy równanko wielomianowe :
\(( \frac{r-9}{r+9} + \frac{r^2-5r+4}{r^2+5r+4} )^2\) =\(\frac{64r^2}{ (r^2+5r+4)^2}\)
co daje jako jeden z pierwiastków dodatnich \(r=11\)