Tw. Sinusów w Oxy

[poetaopole]

Dany jest trójkąt ABC, w którym A(0,0) i B(4,0). Wyznacz współrzędne wierzchołka C, jeżeli \(AC=4 \sqrt{2}\) i kąt \(ACB=30^ \circ\). Nie takie zadania już rozwiązywałem, a tutaj nawet nie umiem zrobić konstrukcji w układzie współrzędnych. Mogę prosić o pomoc? Narysowałem okrąg o promieniu BC, ale nie potrafię "zaczepić" konstrukcyjnie kąta ACB.

[radagast]

Mi się udało

ScreenHunter_1986.jpg (19.5 KiB) Przejrzano 2002 razy

[poetaopole]

O Boże! To teraz wyjaśnij kolejne kroki, OK? Wiadomo, że zadanie ma 4 rozwiązania. Dwa są oczywiste, 2 kolejne trochę mniej...

[Galen]

Oblicz kąt B z tw.sin.
\(\frac{AB}{sin30^o}= \frac{AC}{sin \angle B}\\ \frac{4}{ \frac{1}{2} }= \frac{4 \sqrt{2} }{sin \angle B}\\sin \angle B= \frac{ \sqrt{2} }{2}\;\;\;\;\;\;\; \So \;\;\;\;\; \angle B=45^o\)
Równania prostej BC i prostej AC napiszesz ,bo ich współczynnik kierunkowy jest tg kata prostej z dodatnią stroną OX.
\(\angle C=30^o\\ \angle B=45^o\\ \angle A=105^o\)
Współczynnik kierunkowy prostej BC
\(tg135^o=-tg45^o=-1\)
\(y=-x+b\;\;\;przez\;\;\;(4;0)\\0=-4+b\\b=4\\y=-x+4\)
Współczynnik kierunkowy prostej AC
\(tg105^o=-ctg15^o=-2-\sqrt{3}\)
Prosta przechodzi przez (0;0)
\(y=(-2- \sqrt{3})x\)
Układ,z którego policzysz współrzędne C
\(\begin{cases} y=(-2- \sqrt{3})x\\y=-x+4 \end{cases}\)
Otrzymasz
\(C=(2-2 \sqrt{3}\;;\;2+2 \sqrt{3})\)
Przelicz,bo nie wiem czy nie mam błędu rachunkowego.

[radagast]

O Boże! To teraz wyjaśnij kolejne kroki, OK? Wiadomo, że zadanie ma 4 rozwiązania. Dwa są oczywiste, 2 kolejne trochę mniej...

1) kreślę okrąg o środku A i promieniu \(4 \sqrt{2}\)
2) punkt C' jest odległy od B o 8 i leży na osi OY (są takie dwa , oba dobre)
3) Kreślę okrąg opisany na ABC'
4) przecina on poprzedni okrąg w punkcie \(C_1\) oraz \(C_3\)
5) \(ABC_i\)jest szukanym trójkątem (\(i \in \left\{1,2,3,4 \right\}\))

oczywiście jest ich więcej ale to już wiesz. Liczbę rozwiązań i dowód poprawności konstrukcji pozostawię Tobie.

[radagast]

Otrzymasz
\(C=(2-2 \sqrt{3}\;;\;2+2 \sqrt{3})\)
Przelicz,bo nie wiem czy nie mam błędu rachunkowego.

To jest jeden. Są jeszcze co najmniej trzy.

[poetaopole]

Rano się za to biorę... Dziękuję Wam za pomoc... najważniejsza była dla mnie konstrukcja tego trójkąta. Geometria analityczna to pestka.

[radagast]

To jest jeden. Są jeszcze co najmniej trzy.

dokładnie trzy (razem cztery)

ScreenHunter_1989.jpg (22.13 KiB) Przejrzano 1985 razy

Galen znalazł \(C_3\).

[poetaopole]

Dowód poprawności konstrukcji? Widzę, że zbudowałaś tzw. trójkąt szczególny ABC' i ze środka jego przeciwprostokątnej poprowadziłaś opisany na nim okrąg. Pomóż mi zrozumieć, dlaczego ten okrąg wyznacza na początkowym okręgu o środku O(0,0) szukane punkty? .......... Chyba mam! Równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku???

[ef39]

Jesteś super Radagast , miło wypić poranną kawę oglądając twój rysunek, pozdrawiam

[poetaopole]

No to już chyba ef39 potwierdził moje spostrzeżenie PORANNĄ KAWĄ. Osobiście dokończyłem zadanie porównując wzory na pole trójkąta \(ABC\). Ładnie wyszła druga współrzędna poszukiwanego punktu. Pierwsza współrzędna to już trygonometria w trójkącie prostokątnym. Zadanie super, a niby z podręcznika Nowej Ery - tak krytykowanego przez nauczycieli, że same tam proste zadania są.

[radagast]

A mnie w nocy dopadły wątpliwości na temat liczby rozwiązań. Myślę, że są jeszcze 4.

[radagast]

Nie, jednak nie. Tam jest powiedziane, że to AC ma mieć \(4 \sqrt{2}\), wiec tylko 4 rozwiązania.