kwadrat o boku 1/3

[inter]

Kwadrat jednostkowy przecięto dwoma liniami. Pokaż że istnieje kwadrat o boku \(\tfrac13\), leżący wewnątrz kwadratu jednostkowego oraz z bokami równoległymi do kwadratu jednostkowego, przez którego nie przechodzi żadna z dwóch linii.

[kerajs]

Najmniej sprzyjającą sytuacją są linie pokrywające się z przekątnymi. Wtedy istnieję (nawet 4 ) taki kwadrat. Dla innych siecznych zawsze istnieje większy kwadrat.

[inter]

"Najmniej sprzyjającą sytuacją" jak to uzasadnić?

[kerajs]

Gdy sieczne pokrywają się z przekątnymi to w każdy z czterech obszarów (trójkątów) można wpisać (zgodnie z założeniami zadania) maksymalny kwadrat o boku 1/3. zmieniając położenie siecznych w przynajmniej jeden z obszarów można wpisać większy kwadrat. Łatwo to widać gdy dorysujesz linie pomocnicze równoległe do boków i zawierające boki maksymalnych kwadratów z najmniej sprzyjającej sytuacji.

[inter]

"zmieniając położenie siecznych w przynajmniej jeden z obszarów można wpisać większy kwadrat" - a da się to udowodnić?

[kerajs]

1.
Jeżeli podzielisz kwadrat na 9 kwadracików to jak musza przebiegać sieczne aby przecinały każdy z tych 9 kwadracików?
2.
Przy znalezionych siecznych spełniających pkt. 1. jaka jest odległość między punktami przecięcia przez sieczne każdej z czterech prostych dzielących kwadrat na 9 kwadracików ?

[inter]

Własnie nie wiem jak to udowodnic.

[kerajs]

Ale nie odpowiedziałeś na żadne z pytań pomocniczych które zadałem.

Odcinki dzielące kwadrat na dziewięć kwadracików nazwę a,b,c,d
a) jeżeli sieczne nie przecinają wszystkich (9) kwadracików to nieprzecięty kwadrat spełnia tezę
b) sieczne przecinają 9 kwadracików gdy: ........................ , ale wtedy na przynajmniej jednym z odcinków a,b,c,d odległość miedzy punktami jego przecięcia przez sieczne jest niemniejsza od 1/3 bo ..................... .

A zaczęliśmy od tego:
Skrajnym przypadkiem b) jest gdy sieczne pokrywające się z przekątnymi.