Równoległość prostych w okręgach stycznych

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Równoległość prostych w okręgach stycznych

Post autor: poetaopole »

Dwa okręgi są styczne w punkcie S. Przez ten punkt poprowadzono proste KL i MN przecinające pierwszy okrąg w punktach K i M, a drugi w L i N. Udowodnij, że KM jest równoległe do LN. Jeżeli uda się komuś tego dowieść, to czy powinno się rozpatrzeć dwa przypadki?
sudowski27
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 14 lut 2016, 14:32
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 4 razy
Płeć:

Post autor: sudowski27 »

Trudne zadanie. Rozrysowałem sobie i coś z kątami trzeba ogarnąć choć próbowałem Talesem ale chyba nie tędy droga
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Lubiącym liczyć proponuję dowód z wykorzystaniem geometrii analitycznej.
Okręgi:
\((x-a)^2+y^2=a^2\\
(x \pm b)^2+y^2=b^2\\\)

Proste:
\(y=kx\\
y=mx\)


A preferującym planimetrię, wykazanie proporcjonalności odpowiednich cięciw z podobieństwa trójkątów równoramiennych, gdzie ramionami są promienie okręgów. Wygodnym, choć niekoniecznym, będzie odwrotny Tales.

Niecierpliwi niech wykorzystają jednokładność.
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: poetaopole »

To ja poszukam trójkątów równoramiennych. Gdy znajdę, dam znać :)
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: poetaopole »

Oznaczyłem kąty wpisane wierzchołkowe o wierzchołku w punkcie styczności okręgów jako \(\alpha\). Udało mi się pokazać podobieństwo 2 trójkątów o bokach nazwijmy je R i R i kącie środkowym pomiędzy nimi \(2 \alpha\) w jednym okręgu i trójkąta o bokach r i r i kącie środkowym pomiędzy nimi też \(2 \alpha\). Tym samym wiem, że podstawy tych trójkątów są proporcjonalne, ale to za mało, żeby były równoległe. Ktoś PORATUJE! :)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Niech okrąg zawierający punkty K i M ma promień R i środek O1, a okrąg zawierający punkty L i N promień r i środek O2.

Wersja 1)
Wiesz już że
\(\frac{R}{r}= \frac{|KS|}{|LS|}= \frac{|MS|}{|NS|}\)
Z odwrotnego twierdzenia Talesa (którego nie musisz udowadniać) wynika że skoro na przecinających się prostych KL i MN odcinki są proporcjonalne (a są jak pokazałeś to wyżej) to KM i LN są równoległe.

Wersja 2)
Bez podobieństwa i odwrotnego Talesa.
Niech przecięciem KM z prostą zawierającą O1,S,O2 będzie punkt R, a przecięciem KM z prostą zawierającą O1,S,O2 będzie punkt Q.
Wprowadzę katy:
\(\alpha = \angle O_1SK= \angle O_1KS= \angle O_2SL= \angle O_2LS\\
\beta = \angle O_1SM= \angle O_1MS= \angle O_2SN= \angle O_2LN\)

Stąd:
\(\angle KO_1S= \angle LO_2S= 180^{\circ}-2 \alpha \\
\angle MO_1S= \angle NO_2S=180^{\circ}-2 \beta \\
\angle KO_1M= \angle LO_2N=2 \alpha +2 \beta \\
\angle MKO_1= \angle NLO_2=90^{\circ}- \alpha - \beta \\
\angle RKS= \angle QLS=90^{\circ}- \beta\)


Kąt pod jakim prosta KM przecina prostą zawierającą O1,S,O2 jest trzecim kątem trójkąta KRS który wynosi:
\(\angle KRS=90^{\circ}- \alpha + \beta\)
Kąt pod jakim prosta LN przecina prostą zawierającą O1,S,O2 jest trzecim kątem trójkąta LQS który wynosi:
\(\angle LQS=90^{\circ}- \alpha + \beta\)
Wnioskiem jest równoległość KM i LN .

PS:
Istnieje jednokładność o środku w punkcie styczności S i skali k przekształcająca jeden okrąg w drugi, dlatego odcinki na prostej będące cięciwami okręgów są proporcjonalne (w skali \(\left| k\right|\) ). A skoro są proporcjonalne to z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika że KM i LN są równoległe.
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: poetaopole »

Kerajs, jak napisałem wyżej, udowodniłem, że trójkąty równoramienne są podobne, a nie trójkąty KMS i LNS, dlatego dalej stoję z tym zadaniem. Możesz napisać, skąd mam wiedzieć, że \(\frac{R}{r}= \frac{KS}{LS} = \frac{MS}{NS}\)? Jak zauważyć podobieństwo tych trójkątów? Pytanie jest do WERSJI (1). Próbowałem też ogarnąć WERSJĘ (2) ale po przeczytaniu oznaczeń w pierwszym zdaniu musiałem... zrezygnować.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Ad Wersja 1)
1)
Przypuszczam że wykazałeś podobieństwo trójkątów \(KSO_1\) i \(LSO_2\). Pewnie z kryterium KKK
(kąt,kat,kąt). Zgadza się?
Z tego podobieństwa wynika proporcjonalność boków:
\(\frac{R}{r} = \frac{|KS|}{|LS|}\)
2)
Analogicznie podobne są trójkąty \(MSO_1\) i \(NSO_2\). A z tego podobieństwa wynika proporcjonalność boków:
\(\frac{R}{r} = \frac{|MS|}{|NS|}\)
3)
Łącząc proporcje z 1) i 2) masz to co napisałem jako Wersja 1) :
kerajs pisze:Wersja 1)
Wiesz już że
\(\frac{R}{r}= \frac{|KS|}{|LS|}= \frac{|MS|}{|NS|}\)
Z odwrotnego twierdzenia Talesa (którego nie musisz udowadniać) wynika że skoro na przecinających się prostych KL i MN odcinki są proporcjonalne (a są jak pokazałeś to wyżej) to KM i LN są równoległe.
Pisz jeśli coś jeszcze mam wyjaśnić.

Ad Wersja 2)
Pierwsze zdanie inaczej:
Narysuj prostą przechodzącą przez środki okręgów. Jej przecięcie z prostą przechodzącą przez punkty KM oznacz jako punkt R, a jej przecięcie z prostą przechodzącą przez punkty LN oznacz jako punkt Q.

Zapomniałem napisać, że tutaj KS i MS są po dwóch stronach prostej przechodzącej przez środki okręgów. Dla cięciw po tej samej stronie, kąty z punktami Q i R należy na nowo wyliczyć.
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: poetaopole »

No, właśnie że nie: Wykazałem podobieństwo trójkątów \(KMO_1\) i \(NLO_2\). Pisałem Ci, że oznaczyłem kąt wpisany o wierzchołku S jako \(\alpha\) (\(\angle KSM\)) i potem użyłem odpowiadającemu mu kąta środkowego \(2 \alpha\), żeby udowodnić podobieństwo trójkątów równoramiennych o kącie pomiędzy ramionami R, R właśnie \(2 \alpha\) w pierwszym okręgu i o ramionach r, r i kącie pomiędzy ramionami \(2 \alpha\) w drugim okręgu. I nadal nie umiem udowodnić podobieństwa kolejnych dwóch trójkątów.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Ach, teraz wiem co udowodniłeś, choć gdybym się wczytał to o tym pisałeś:
Tym samym wiem, że podstawy tych trójkątów są proporcjonalne, ale to za mało, żeby były równoległe.
Sorry.
Przy okazji widać, że warto wprowadzać dodatkowe oznaczenia.

Narysuj prostą \(p\) przechodzącą przez środki okręgów i siłą rzeczy punkt S. Oznacz sobie jakoś kąt miedzy nią a prostą KL. Masz dwa trójkąty równoramienne \(KSO_1\) i \(LSO_2\). Czy i dlaczego są one podobne?
Potem ten sam myk z trójkątami równoramiennymi \(MSO_1\) i \(NSO_2\).

Czy KMS i LNS są podobne? Jeśli tak to KM i LN są równoległe.

Dodatkowo:
Czy dzięki Twoim wprowadzonym kątom umiesz teraz wyliczyć kąt pod jakim KM (a pod jakim LN) przecina prostą p?
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: poetaopole »

No wreszcie :) Dziękuję, dziękuję, dziękuję! Sprawdziła się stara prawda o dowodach w planimetrii: najgorsze są te, gdzie trzeba sobie coś dorysować. Zacząłem od najłatwiejszego z trzech trójkątów, bo od razu rzucił się związek pomiędzy kątem wpisanym a środkowym. Ale to nie wystarczyło. Jeszcze raz stokrotne dzięki!
Awatar użytkownika
escher
Moderator
Moderator
Posty: 308
Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 68 razy

Re: Równoległość prostych w okręgach stycznych

Post autor: escher »

Jeśli znacie twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą
(tablice maturalne CKE góra strony 11),
to można posłużyć się tym twierdzeniem po dorysowaniu wspólnej stycznej w S.
Np.
\(\angle KMS = \angle KSX = \angle YSL =\angle SNL\), gdzie X i Y, to odpowiednio położone punkty na stycznej.
Te kąty są więc naprzemianległe, a proste MK i NL są równoległe.
escher
ODPOWIEDZ