pięciokąt foremny

[naturaMF]

Wykazać, że w pięciokącie foremnym przekątna dzieli inną przekątną w złotym stosunku.

Złoty stosunek jest to podział odcinka na dwie części, dla którego stosunek całości do większej części jest taki sam jak stosunek większej części do mniejszej.

bardzo proszę o pomoc

[kerajs]

polygon_5.png (34.6 KiB) Przejrzano 1502 razy

Jak pewnie wiesz przekątna pięciokąta foremnego o boku \(a\) ma długość: \(d= \frac{1+ \sqrt{5} }{2} a\)

Z układu:
\(\begin{cases} x^2+h^2=a^2\\(x+a)^2+h^2=d^2\end{cases}\)
wyliczam:
\(x= \frac{ \sqrt{5}-1 }{4} a\)
Z:
\(\cos \alpha = \frac{ \frac{a}{2} }{q}= \frac{a+x}{d}\)
mam:
\(q= \frac{1+ \sqrt{5}}{3+ \sqrt{5}}a\)

Teza:
\(\frac{d}{d-q} = \frac{d-q}{q}\\
d^2-3dq+q^2=0\)
Sprawdzenie:
\(L=d^2-3dq+q^2= (\frac{1+ \sqrt{5} }{2} a)^2-3(\frac{1+ \sqrt{5} }{2} a)( \frac{1+ \sqrt{5}}{3+ \sqrt{5}}a)+( \frac{1+ \sqrt{5}}{3+ \sqrt{5}}a)^2=\\=(\frac{1+ \sqrt{5} }{4} a)^2 \left[4-18+6 \sqrt{5} +14-6 \sqrt{5} \right]=0=P\)