w czworokąt ABCD można wpisać okrąg

[inter]

Rozważmy czworokąt wypukły ABCD. Niech E oznacza punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt
ABD z przekątną BD, niech ponadto F oznacza punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt BCD z
przekątną BD. Wykaż, że jeśli E = F, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

[Panko]

Korzystasz z fakcika ,że styczne poprowadzone do okręgu z punktu zewnętrznego mają równe długości. ( dowodzi się w przyzwoitym gimnazjum)
Wtedy oznaczam : \(S_1,S_2,S_3,S_4\) brakujące punkty styczności tych okręgów z Twoimi \(\Delta\) -katami :
\(S_1 \in \kre{AB}\) , \(S_2 \in \kre{AD}\) ,\(S_3 \in \kre{DC}\) ,\(S_4 \in \kre{BC}\)
.....................................................................
Przekształcam sumę długości przeciwległych boków czworokąta \(ABCD\) :
\(AB +CD= BS_1+S_1A+CS_3+S_3D=BE+AS_2+CS_4+DF=BS_4+AS_2+CS_4+S_2D=\) \(( BS_4+S_4C)+(AS_2+DS_2)=BC+AD\)
.............................................
Stąd z TW : Jeżeli sumy przeciwległych boków są równe to w czworokąt mogę wpisać okrąg. jest Twoja teza.