równoległobok

[angela128]

Oblicz miary kątów równoległoboku o bokach 4cm i 8 cm i przekątnej 6 cm

[irena]

Równoległobok nazwij ABCD (kąty ostre przy A i C).
|AD|=4
|AB|=8
|BD|=6

Policzę pole trójkąta ABD ze wzoru Herona:
\(p=\frac{4+8+6}{2}=9\\9-4=5\\9-8=1\\9-6=3\\P_{ABD}=\sqrt{9\cdot5\cdot1\cdot3}=3\sqrt{15}\)

\(P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot8\cdot sin\alpha\\16sin\alpha=3\sqrt{15}\\sin\alpha=\frac{3\sqrt{15}}{16}\approx0,7262\)

Kąt można znaleźć w tablicach. Kąt rozwarty ma miarę \(180^0-\alpha\)

[Matematyk_64]

Albo bardziej konwencjonalnie z tw. cosinusów. Trochę szybciej
Niech kąt między \(AB\) i \(AD\) ma miarę \(\alpha\)

\(|DB|^2=|AB|^2 +|AD|^2 - 2 |AB| \cdot |AD| \cdot \cos \alpha\)
\(36 = 16+64-64 \cos \alpha\)
\(\cos \alpha = \frac{11}{16}\)