Dany jest trójkąt PBQ. Na boku PB obrano punkt A, na boku BQ obrano punkt C i na boku QP obrano punkt D, tak że czworokąt ABCD jest równoległobokiem. Na bok QP trójkąta poprowadzono wysokości: h z punktu B, h1 z punktu A oraz h2 z punktu C.
Udowodnij, że h = h1 + h2
Równoległobok w trójkącie - wykaż że....
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Iluminati91
- Czasem tu bywam
- Posty: 86
- Rejestracja: 31 gru 2009, 16:31
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękowania: 51 razy
- Płeć:
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Równoległobok w trójkącie - wykaż że....
oznaczmy : \(|BA|=a\) ,\(|AP|=b\) , \(|BC|=c\) , \(|CQ|=d\)
wtedy z TW Talesa jest : \(\frac{h}{h_1} = \frac{a+b}{b}\) \(\\) oraz \(\frac{h}{h_2} = \frac{c+d}{d}\)
stąd : \(h_1+h_2= h \cdot ( \frac{b}{a+b} + \frac{d}{c+d})\)
Należy pokazać ,że \(\frac{b}{a+b} + \frac{d}{c+d} =1\)
Powyższe po redukcji ma postać : \(a \cdot c=b \cdot d\) lub równoważnie : \(\frac{b}{a} =\frac{c}{d}\)
\(\Delta PAD\) \(\\)\(\sim\) \(\\) \(\Delta DCQ\) , \(\\) cecha kąt,kąt.
Czyli z cechy bok,bok ,bok : jest żądne \(\frac{b}{a} =\frac{c}{d}\)
wtedy z TW Talesa jest : \(\frac{h}{h_1} = \frac{a+b}{b}\) \(\\) oraz \(\frac{h}{h_2} = \frac{c+d}{d}\)
stąd : \(h_1+h_2= h \cdot ( \frac{b}{a+b} + \frac{d}{c+d})\)
Należy pokazać ,że \(\frac{b}{a+b} + \frac{d}{c+d} =1\)
Powyższe po redukcji ma postać : \(a \cdot c=b \cdot d\) lub równoważnie : \(\frac{b}{a} =\frac{c}{d}\)
\(\Delta PAD\) \(\\)\(\sim\) \(\\) \(\Delta DCQ\) , \(\\) cecha kąt,kąt.
Czyli z cechy bok,bok ,bok : jest żądne \(\frac{b}{a} =\frac{c}{d}\)