Równoległobok i dwa okręgi

[Januszgolenia]

Dany jest równoległobok ABCD, w którym IABI=a, IBCI=b. \(I \angle ABCI= \alpha i \alpha\) jest kątem rozwartym. Punkty \(S_1, S_2\) są środkami okręgów opisanych na trójkątach odpowiednio ABD i BCD. Wyznacz pole czworokąta \(BS_1DS_2\).

[Panko]

Wystarczy pokazać jak liczyć pole \(\Delta BS_1D\)
\(|BD| = \sqrt{a^2+b^2+2ab \cdot \cos \alpha }\)
\(| \angle BS_1D|= 2 \cdot (180^ \circ - \alpha )\)
oznaczmy \(\\) \(r_1\)\(\\) promień okręgu opisanego na \(\\) \(\Delta BS_1D\)
jego POLE \(\Delta BS_1D\) =\(\frac{1}{2} \cdot r_1^2 \cdot \sin(360^ \circ - 2 \cdot \alpha )=\frac{1}{2} \cdot r_1^2 \cdot (- \sin 2 \alpha )\)
z \(\Delta BS_1D\)\(\\) jest \(\\) \(2r_1^2-2r^2 \cdot \cos (360-2 \alpha )=|BD|^2\)
\(\\)
stąd \(\\) \(r_1^2= \frac{ a^2+b^2+2ab \cos \alpha }{2 \cdot ( 1- \cos 2 \alpha ) }\)

POLE \(\Delta BS_1D\)= \(\frac{1}{2} \cdot \frac{ a^2+b^2+2ab \cos \alpha }{2 \cdot ( 1- \cos 2 \alpha ) } \cdot (- \sin 2 \alpha )\)
.......................................................................
Analogicznie brakujące POLE \(\Delta BS_2D\)
.......................................................................
Dodaj wyniki pośrednie i już.

[Januszgolenia]

Nie wiem dlaczego \(I \angle BS_1DI=2(180- \alpha )\). Jakbyś wytłumaczył byłbym wdzięczny.

[radagast]

kąt \(BS_1D\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany \(BAD\), a ten ma miarę \(180- \alpha\) jako drugi kąt równoległoboku.