Rozwiąż równanie/nierówność i naszkicuj zbiór rozwiązań

[bumbek]

Rozwiąż równanie/nierówność i naszkicuj zbiór rozwiązań w układzie współrzędnych:
\(x^2-2x-y^2=0\)
\(x^2-2x-y^2<0\)
\(x^2-2x-y^2<1\)

Generalnie w dwóch pierwszych przypadkach trzeba zrobić myk z dodaniem 1 do obu stron i wtedy nam wyjdą wzory skróconego mnożenia itd. I teraz interesuje mnie, skąd wiadomo, że otrzymamy na wykresie hiperbole i to w dodatku hiperbole, których asymptotami będą proste y=x-1 i y=1-x? Jak? Skąd? Mogę prosić o wytłumaczenie?

[Panko]

Musisz mieć podstawową wiedzę o analitycznym równaniu hiperboli : \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)
Jej środkiem symetrii jest \((0,0)\) , a asymptotami są proste : \(y=\frac{b}{a} \cdot x\) ,\(y=-\frac{b}{a} \cdot x\)
Np : \(x^2-2x+1 -y^2 =1\) : \((x-1)^2 -y^2=1\) .
Czyli jest to hiperbola \(x^2-y^2=1\) przesunięta o wektor \([1,0]\) , czyli tak wzdłuż osi OX.
Jej asymptoty to \(y=x,y=-x\) . A obrazy tych prostych po przesunięciu o ten wektor to \(y=x-1, y=-x-1\)
.............................................
Drugi obiekt to obszar <pomiędzy > gałęziami hiperboli , ( podstaw do równania np : (1,0) )
..............................................
Trzeci obiekt to \(\frac{(x-1)^2}{( \sqrt{2} )^2} - \frac{y^2}{( \sqrt{2} )^2} <1\)

[bumbek]

Musisz mieć podstawową wiedzę o analitycznym równaniu hiperboli : \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)
Jej środkiem symetrii jest \((0,0)\) , a asymptotami są proste : \(y=\frac{b}{a} \cdot x\) ,\(y=-\frac{b}{a} \cdot x\)
Np : \(x^2-2x+1 -y^2 =1\) : \((x-1)^2 -y^2=1\) .
Czyli jest to hiperbola \(x^2-y^2=1\) przesunięta o wektor \([1,0]\) , czyli tak wzdłuż osi OX.
Jej asymptoty to \(y=x,y=-x\) . A obrazy tych prostych po przesunięciu o ten wektor to \(y=x-1, y=-x-1\)
.............................................
Drugi obiekt to obszar <pomiędzy > gałęziami hiperboli , ( podstaw do równania np : (1,0) )
..............................................
Trzeci obiekt to \(\frac{(x-1)^2}{( \sqrt{2} )^2} - \frac{y^2}{( \sqrt{2} )^2} <1\)

A czy mógłbym prosić o wyjaśnienie jak w tym ostatnim przypadku będzie wyglądać obszar zamalowany bo coś nie mogę sobie wyobrazić.