Zadanie z geometrii

[Katrina1995]

Podaj objętość kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy czworokątny o kącie rozwarcia między:
a) przeciwległymi krawędziami ścian bocznych u wierzchołka
b) przeciwległymi ścianami bocznymi u wierzchołka równym 90 stopni.

[radagast]

Masz obrazek do a)

ScreenHunter_1641.jpg (20.7 KiB) Przejrzano 2217 razy

(dalej już łatwo ale liczy się brzydko )
Z podobieństwa trójkątów \(\frac{r}{ \frac{a \sqrt{2} }{2}-r } = \frac{ \frac{a}{2} }{ \frac{a \sqrt{3} }{2} }\)
o ile się nie pomyliłam wychodzi \(r= \frac{a \left( 3- \sqrt{3} \right) }{4}\)
czyli \(V=...\)

[radagast]

Punkt b) jest nieco łatwiejszy (ale też wychodzi paskudnie)
Spróbuj sama.
Wskazówka: kąt między wysokością ostrosłupa, a jego ścianą boczną jest połową kąta prostego.

[law00]

\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt[3]{x+1}- \sqrt[6]{1-x} }{x}=\lim_{x\to 0} \frac{ x+1- (1-x)^2}{x( \sqrt[3]{(x+1})^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[6]{1-x}+ \sqrt[6]{(1-x)^2} }=\lim_{x\to 0} \frac{3x-x^2}{x( \sqrt[3]{(x+1})^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[6]{1-x}+ \sqrt[6]{(1-x)^2}) }=\lim_{x\to 0} \frac{3-x}{ \sqrt[3]{(x+1})^2+\sqrt[3]{x+1}\sqrt[6]{1-x}+ \sqrt[6]{(1-x)^2} }= \frac{3}{1+1+1}=1