kat w trójkącie

[maxkor]

W trójkacie ABC mamy ∡ \(BAC=53^o\). Punkt D jest na AC tak ze \(AD=2DC\),oraz ∡\(DBC=14^o\). Oblicz ∡ \(ACB\).
Zakładamy że \(tg53^o=4/3\) oraz \(tg14^o=1/4\)

[arksoftware]

Zacznijmy od kąta \(\angle DBA\):
\(| \angle DBA | = 180^{\circ} - 53^{\circ} - 14^{\circ} - | \angle ACB | = 113^{\circ} - | \angle ACB | = 60^{\circ} + 53^{\circ} - | \angle ACB |\).

Następnie z twierdzenia sinusów w trójkącie BCD:
\(\frac{sin \angle ACB}{|BD|} = \frac{sin 14^{\circ}}{|CD|}\)

A z twierdzenia sinusów w trójkącie ABD:
\(\frac{sin 53^{\circ}}{|BD|} = \frac{sin \angle DBA}{|AD|}\)

W powyższym równaniu podstawiamy \(|AD| = 2|CD|\) oraz \(| \angle DBA | = 60^{\circ} + 53^{\circ} - | \angle ACB |\)

Łącząc ze sobą dwa równania wyprowadzone z twierdzenia sinusów eliminujemy z nich \(|BD|\) oraz \(|CD|\) i otrzymujemy jedno równanie trygonometryczne z niewiadomą \(| \angle ACB |\). Należy je rozwiązać korzystając z wzorów na sinus sumy/różnicy.

Wartości \(sin 53^{\circ}\) oraz \(sin 14^{\circ}\) można obliczyć na boku, znając wartości tangensów tych kątów (używając tzw. jedynki trygonometrycznej i wzoru łączącego tangens, sinus i cosinus danego kąta).