Styczna i sieczna w okręgu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1608
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1680 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Styczna i sieczna w okręgu

Post autor: Januszgolenia »

Przez punkt P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A i sieczną okręgu przecinającą ten okrąg w punktach B i C. Wykaż, że jeśli IPBI:IBCI=1:3, to IPBI<IABI<IBCI.
Arni123
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 135
Rejestracja: 06 wrz 2011, 10:39
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 52 razy
Płeć:

Post autor: Arni123 »

Adres do rysunku :
https://www.dropbox.com/s/65f596roxc5j9 ... g.png?dl=0

Dowód: Oznaczmy długość odcinka \(PB\) przez \(a\). Wówczas stąd, że \(\frac{|PB|}{|BC|}=\frac{1}{3}\)wiemy, że \(|BC|=3|PB|=3a\). Z twierdzenia o stycznej i siecznej wiemy, że \(|PA|^2=|PC|\cdot |PB|\), czyli \(|PA|^2=4a\cdot a\) zatem \(|PA|^2=4a^2\), a stąd \(|PA|=2a\). Z warunku trójkąta wiemy, że
\(|PB|+|PA|>|AB|\), czyli \(a+2a>|AB|\), więc \(3a>|AB|\). Jednakże \(3a=|BC|\), czyli \(|AB|<|BC|\). Podobnie zauważmy, że \(|PB|+|AB|>|PA|\). Stosując nasze oznaczenia mamy, że \(a+|AB|>2a\), czyli
\(|AB|>a\), ale \(a=|PB|\) stąd \(|AB|>|PB|\). Stąd widzimy, że \(|PB|<|AB|<|BC|\).
ODPOWIEDZ