przed matura z matematyki

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dobrzyc
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 239
Rejestracja: 31 sty 2016, 11:51
Podziękowania: 146 razy
Płeć:

przed matura z matematyki

Post autor: dobrzyc »

1.ostroslup prawidlowy trojkatny o krawedzi podstawy a i kacie plaskim przy wierzcholku alfa rzecieo plaszczyzna zawierajaca wysokosc doch scian bocznych wychodzace z wirzcholka ostroslupa. wyznacz pole tego przekroju.
2. podstawa ostroslupa jest trojkat prostokatny rownoramiennny, a wyskosc ostroslupa jest rowna przeciwprostokatnej tego trojkata. kazda sciana boczna tworzy z podstawa kat alfa. wyznacz tg alfa.

odp.
1.\(\frac{1}{8} a^2 \sqrt{ \ctg ^2 \frac{ \alpha }{2} - \frac{1}{4} }\)
2. 2(\(\sqrt{2}\) + 1)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2.
ABC- równoramienny trójkąt prostokątny (podstawa ostrosłupa) o przeciwprostokątnej AB, w którym:
\(|AB|=c\\|AC|=|BC|=\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{c\sqrt{2}}{2}\)

Jeśli wszystkie ściany ostrosłupa nachylone są do podstawy pod tym samym kątem, to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.

O- środek okręgu wpisanego w podstawę ABC.
P- środek przeciwprostokątnej AB.
S- wierzchołek ostrosłupa

\(|OP|=r\\|OS|=H=c\)

Z pola trójkąta ABC:
\(P=\frac{c+2\cdot\frac{c\sqrt{2}}{2}}{2}\cdot r=\frac{1}{2}\cdot(\frac{c\sqrt{2}}{2})^2\\\frac{c+c\sqrt{2}}{2}\cdot r=\frac{1}{2}\cdot\frac{c^2}{2}\\(\sqrt{2}+1)r=\frac{c}{2}\\c=2(\sqrt{2}+1)\cdot r\)

W trójkącie prostokątnym SOP mamy:
\(|\angle POS|=90^0\\|\angle SPO|=\alpha\\|OP|=r\\|OS|=H=c=2(\sqrt{2}+1)r\\tg\alpha=\frac{H}{r}=\frac{2(\sqrt{2}+1)r}{r}=2(\sqrt{2}+1)\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
ABC- trójkąt równoboczny o boku a- podstawa ostrosłupa
S- wierzchołek ostrosłupa

Naszkicuj trójkąt równoramienny BCS- ścianę boczną ostrosłupa
Poprowadź wysokość SK na podstawę BC (K to środek podstawy BC)
W trójkącie BCS:
\(|BC|=a\\|\angle BSC|=\alpha\\|SK|=h\\|CK|=\frac{a}{2}\\|\angle KSC|=\frac{\alpha}{2}\\\frac{h}{\frac{a}{2}}=ctg{\frac{\alpha}{2}}\\h=\frac{a}{2}\cdot ctg{\frac{\alpha}{2}}\)

K- środek krawędzi BC
L- środek krawędzi AC.
Odcinek KL łączy środki boków AC i BC trójkąta równobocznego ABC, więc jego długość jest równa połowie boku trójkąta ABC.
Trójkąt równoramienny KSL jest szukanym przekrojem.

W tym trójkącie:
T- środek podstawy KL

\(|KL|=\frac{a}{2}\\|LS|=|KS|=h\\|ST|=k\\|TK|=\frac{a}{4}\\k^2=h^2-(\frac{a}{4})^2=\frac{a^2}{4}ctg^2{\frac{\alpha}{2}}-\frac{a^2}{16}=\frac{a^2}{4}(ctg^2{\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{4})\\k=\frac{a}{2}\sqrt{ctg^2{\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{4}}\)

Pole przekroju:
\(P=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{2}\sqrt{ctg^2{\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{4}}=\frac{a^2}{8}\sqrt{ctg^2{\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{4}}\)
ODPOWIEDZ