Trójkąty

[przemcio06]

1.W trójkącie ABC punkty D,E leżą odpowiednio na bokach AB i AC tak że AD:DB=1:2 i AE:EC=2:1. Wyznacz jaką część pola trójkąta ABC stanowi pole czworokąta ADFE.
2.W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AD i BE, udowodnij że punkty A B C D leżą na jednym okręgu.
3.Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB ABC BCA tego trójkąta są równe odpowiednio x,2x,8x.Wykaż że trójkąt jest rozwartokątny i udowodnij że miary wypukłych kątów środkowych ASB,ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Tutaj potrafię wykazać pierwszą część jednak nie mogę sobie poradzić z wykazaniem tego ciągu arytmetycznego
Z góry dziekuję za pomoc

[irena]

1.W trójkącie ABC punkty D,E leżą odpowiednio na bokach AB i AC tak że AD:DB=1:2 i AE:EC=2:1. Wyznacz jaką część pola trójkąta ABC stanowi pole czworokąta ADFE.

Co to za punkt F?

[irena]

2.W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AD i BE, udowodnij że punkty A B C D leżą na jednym okręgu.

Chyba nie o te punkty chodzi...

[radagast]

1.W trójkącie ABC punkty D,E leżą odpowiednio na bokach AB i AC tak że AD:DB=1:2 i AE:EC=2:1. Wyznacz jaką część pola trójkąta ABC stanowi pole czworokąta ADFE.

Co to za punkt F?

znam to zadanie. Spędziłam nad nim kiedyś już kilka chwil. Niestety bez efektów . Punkt F to punkt przecięcia odcinków CD i EB. Zaraz umieszczę rysunek . Może Tobie się uda.

[radagast]

Tak to wygląda :

ScreenHunter_292.jpg (8.73 KiB) Przejrzano 12489 razy

[irena]

3.Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB ABC BCA tego trójkąta są równe odpowiednio x,2x,8x.Wykaż że trójkąt jest rozwartokątny i udowodnij że miary wypukłych kątów środkowych ASB,ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Tutaj potrafię wykazać pierwszą część jednak nie mogę sobie poradzić z wykazaniem tego ciągu arytmetycznego
Z góry dziekuję za pomoc

Kąty środkowe mają miary: 16x 4x i 2x, ale ciągu arytmetycznego nie tworzą. Sprawdź treść

[przemcio06]

Po pierwsze dzięki za ten rysunek a co do zadania trzeciego to właśnie tak brzmi treść tego zadania i w tym zadaniu chyba chodzi właśnie o to że ten trójkąt jest rozwartokątny więc środek okręgu opisanego nie leży chyba wewnątrz trójkąta

[irena]

No, tak, jest w zadaniu "kątów wypukłych". Przepraszam.
Kąty wypukłe środkowe mają miary :
\(|\angle BSC|=2x\\|\angle ASC|=4x\\|\angle ASB|=2x+4x=6x\)

Kąty o miarach: (6x, 4x, 2x) tworzą ciąg arytmetyczny, ponieważ
\(6x+2x=2\cdot4x\)

[irena]

A zad. 2.?

[irena]

Tak to wygląda :

ScreenHunter_292.jpg

Oczywiście, musiałam to zobaczyć.
Wyszło mi tak:
Oznaczyłam P- pole trójkąta ABC
Poprowadź odcinek DE.
Pole trójkąta ADE jest równe \(\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}P=\frac{2}{9}P\)
Pole trójkąta ACD jest równe \(\frac{1}{3}P\)
Stąd pole trójkąta CDE jest równe
\(\frac{1}{3}P-\frac{2}{9}P=\frac{1}{9}P\)

Pole trójkąta BCE jest równe \(\frac{1}{3}P\)
Pole trójkąta ABE jest równe \(\frac{2}{3}P\)
Pole trójkąta BDE wynosi \(\frac{2}{3}P-\frac{2}{9}P=\frac{4}{9}P\)

Dla uproszczenia zapisu przyjęłam:
- pole trójkąta DEF=a
- pole trójkąta CEF=b
- pole trójkąta BCF=c
- pole trójkąta BDF=d

I mamy:
\(a+b=\frac{1}{9}P\\b=\frac{1}{9}P-a\)

\(b+c=\frac{1}{3}P\\c=\frac{1}{3}P-b=\frac{1}{3}P-\frac{1}{9}P+a=\frac{2}{9}P+a\)

\(a+d=\frac{4}{9}P\\d=\frac{4}{9}P-a\)

W czworokącie BCED:
\(\frac{a}{b}=\frac{d}{c}\\\frac{a}{\frac{1}{9}P-a}=\frac{\frac{4}{9}P-a}{\frac{2}{9}P+a}\\\frac{9a}{P-9a}=\frac{4P-9a}{2P+9a}\\18Pa+81a^2=4P^2-9Pa-36Pa+81a^2\\18Pa+9Pa+36Pa=4P^2\\63a=4P\\a=\frac{4}{63}P\)

Pole czworokąta ADFE jest więc równe:
\(\frac{2}{9}P+\frac{4}{63}P=\frac{18}{63}P=\frac{2}{7}P\)

\(\frac{P_{ADFE}}{P_{ABC}}=\frac{\frac{2}{7}P}{P}=\frac{2}{7}\)

[przemcio06]

A zad. 2.?

no właśnie nie wiem jak je zrobić.

[przemcio06]

A przepraszam za błąd. Powinno brzmieć:
W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono wysokości AD i BE, udowodnij że punkty A B D E leżą na jednym okręgu.

[przemcio06]

No, tak, jest w zadaniu "kątów wypukłych". Przepraszam.
Kąty wypukłe środkowe mają miary :
\(|\angle BSC|=2x\\|\angle ASC|=4x\\\)

A mogłabyś mi powiedzieć jak do tego Doszłaś?

[irena]

Kąt BAC to kąt ostry w trójkącie rozwartokątnym, kąt wpisany o mierze x, oparty na łuku AC.
Kąt BSC to kąt środkowy oparty na tym samym łuku, jest 2 razy większy od kąta wpisanego BAC, ma więc miarę 2x, mniejszą od kąta półpełnego (czyli jest to kąt wypukły).
Podobnie- kąt ASC to kąt środkowy, oparty na tym samym łuku, co ostry kąt wpisany ABC o mierze 2x. Miara kąta ASC jest więc równa 4x i jest to kąt wypukły.
Kąt ACB jest kątem rozwartym. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku, co kąt ACB ma miarę większą niż kąt półpełny, więc nie jest kątem wypukłym. Pod uwagę bierzemy więc kąt środkowy oparty na łuku AB przechodzącym przez punkt C (kąt uzupełniający kąt wklęsły ASB do kąta pełnego). Ten kąt jest sumą dwóch kątów środkowych omówionych powyżej (sprawdź rysunek), ma więc miarę 6x.

[irena]

Zad. 2.
Trójkąt ABE to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej AB.
Środek okręgu opisanego na tym trójkącie to środek odcinka AB, a odcinek AB jest średnicą okręgu opisanego.

Trójkąt ABD to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej AB. Odcinek AB jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie.

Okrąg opisany na trójkącie ABE pokrywa się z okręgiem opisanym na trójkącie ABD.
Wniosek- okrąg opisany na trójkącie ABE przechodzi przez punkt D- czyli na czworokącie ABDE można opisać okrąg. Średnicą tego okręgu jest odcinek AB.