forum.zadania.info

Uzasadnij, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą okręgu na nim opisanego.

Niech \(\Delta ABC\) będzie prostokątny tak,że \(\angle BCA=90^ \circ\)
czyli \(BC=a,CA=b,BA=c\)
Niech \(S\) środek przeciwprostokątnej , oznaczmy \(r=BS=SA\)
stąd \(r=BS=SA=\frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}\)
Należy pokazać, że \(\\) \(SC=r\)
Wykonajmy rzut prostokątny punktu \(S\) na przyprostokątne
\(S_B\) punkt na przyprostokątnej \(CA\) , czyli rzut \(S\) na bok \(CA\)
\(S_A\) punkt na przyprostokątnej \(BC\) , czyli rzut \(S\) na bok \(BC\)

Z \(tw Talesa\) jest : \(\frac{BC}{SS_B} =\frac{BA}{SA}\)\(\So SS_B=\frac{BC}{2}\)
Z \(tw Talesa\) jest : \(\frac{AC}{SS_A} =\frac{AB}{SB}\)\(\So SS_A=\frac{AC}{2}\)
Zauważamy,że \(( SS_B)^2+(SS_A)^2=(SC)^2\)
\((\frac{BC}{2} )^2 + ( \frac{AC}{2} )^2 =(SC)^2\)
\(SC=\frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}\)
stąd \(SC=BS=SA\)
Czyli \(S\) to środek okręgu opisanego na \(\Delta ABC\)

Można też skorzystać z własności kąta środkowego i wpisanego. Jeśli \(\angle BCA=90^o\), to \(\angle BOA=2\cdot 90^o=180^o\), czyli punkty \(A,B,O\) leżą na jednej prostej, więc \(AB\) jest średnicą.