pole czworokąta

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

pole czworokąta

Post autor: radagast »

Zadanie pochodzi z podręcznika do II klasy (Kurczab, Świda) :
ScreenHunter_751.jpg
ScreenHunter_751.jpg (10.17 KiB) Przejrzano 8325 razy
Punkty A,B,C,D należą do okręgu o środku O, jak na rysunku powyżej.Odcinek AC jest średnicą okręgu i ma długość 10 cm, natomiast cięciwa BD ma długość 6 cm.Wiedząc, że \(| \angle AOB|=80^ \circ\) oraz \(| \angle DCA|=70^ \circ\), oblicz pole czworokąta ABCD.

w odpowiedziach jest \(15 \sqrt{3}cm^2\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Kąt ADB to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy AOB, czyli
\(|\angle ADB|=40^0\)

Kąt ADC jest prosty, więc
\(|\angle BDC|=90^0-40^0=50^0\)

P- punkt przecięcia przekątnych AC i BD

W trójkącie CDP:
\(|\angle CPD|=180^0-(70^0+50^0)=60^0\)

\(P=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\cdot sin60^0=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}cm^2\)

Jeśli e, f- długości przekątnych czworokąta wypukłego i \(\alpha\) - kąt między nimi, to pole tego czworokąta:
\(P=\frac{1}{2}ef sin\alpha\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Dziękuję za odpowiedź, a teraz podzielę się moimi wątpliwościami na temat tego zadanie:
\(| \angle DAB|=20^ \circ +50^ \circ=70^ \circ\)
\(| \angle DBA|=40^ \circ -20^ \circ +50^ \circ=70^ \circ\)
No to trójkąt ABD jest równoramienny, czyli \(|AD|=|BD|=6 cm\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACD mamy \(|DC|= \sqrt{10^2-6^2} =8cm\)
Widzicie sprzeczność ? (coś z tymi danymi jest nie tak, chodzi mi o to ,że przecież DC nie może być dłuższe niż 6 cm )
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

dobra, już wiem . Trójkąt ADB wcale nie jest równoramienny (rysunek jest mylący, bo punkt D jest w złym miejscu).
Jankosia
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 25 wrz 2012, 12:13
Płeć:

Post autor: Jankosia »

No dobra ale mam pytanie jeśli zrobić to zadanie korzystając z trójkątów to mamy
w trójkącie ABO
1/2⋅|AO|⋅|OB|⋅sin80∘czyli 12,31
i analogicznie trójkąt BOC

dalej trójkąt COD jest równoramienny więc kąt COD ma 40∘ czyli znów 1/2 |DO|⋅|OC|⋅sin40∘czyli 8,03 i analogicznie AOD

w sumie 2*12,31+2*8,03=40,68

gdzie popełniam błąd bo 15√3 to około 25,5
iska
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 09 maja 2010, 18:49
Podziękowania: 5 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: pole czworokąta

Post autor: iska »

Trafiłam dziś na to zadanie i wychodzi mi z kątów, że trójkąt ADB jest równoramienny jednak, no i wtedy DC= 8 i mam ten sam problem... Czy doszliście może, co tu jest nie tak?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Rzeczywiście ! Za łatwo uległam autorytetowi Ireny. To zadanie ma błędne dane.
Istotnie , na podstawie analizy kątów można pokazać , że trójkąt ABD jest równoramienny, a wówczas trójkąt ACD jest trójkątem pitagorejskim i jako taki ma bok DC =8, a to nie jest możliwe, bo 8>6. Błędne dane !
dzięki Iska :)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Sprzeczność polega na tym, że w kole o promieniu 5, kąt wpisany, oparty na cięciwie długości 6 nie może mieć 70 stopni (tylko znacznie mniej, około 35).
iska
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 09 maja 2010, 18:49
Podziękowania: 5 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: pole czworokąta

Post autor: iska »

Dziękuję za odpowiedź! Już zwątpiłam, czy dobrze liczę te kąty. :D
ODPOWIEDZ