Dowód trójkąt

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kubkow
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 05 lut 2013, 19:47
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Dowód trójkąt

Post autor: kubkow » 16 kwie 2013, 18:26

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to \(a^{2}\) + \(b^{2}\) >\(\frac{1}{2}\) \(c^{2}\)

Myślałem, żeby rozważyć tutaj trzy sytuacje:
1) trójkąt prostokątny
2) trójkąt rozwartokątny
3) trójkąt ostrokątny
ale nie wiem za bardzo jak to zrobić..

Trójkąt prostokątny: wiadomo, że \(a^{2}\) + \(b^{2}\)= \(c^{2}\)
podstawiając do równania początkowego, po równoważnych przekształceniach wychodzi \(a^{2}\) + \(b^{2}\)>0 , wiec nierówność jest prawdziwa...ale co zrobić w kolejnych??

Awatar użytkownika
kacper218
Expert
Expert
Posty: 4065
Rejestracja: 02 paź 2009, 14:33
Lokalizacja: Radzymin
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1379 razy
Płeć:

Post autor: kacper218 » 16 kwie 2013, 19:29

Wykorzystaj twierdzenie cosinusów :)
Zadanie takie pojawiło się na próbnej maturze serwisu :D
http://www.zadania.info/d1571/81482R
Pomogłem? Daj plusika :D
Masz pytania? Napisz priv
Przepisywanie prac do \(\LaTeX- a\)

Korepetycje Radzymin i okolice. :)

kubkow
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 05 lut 2013, 19:47
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Post autor: kubkow » 16 kwie 2013, 19:35

wiem, ale zupełnie tego nie rozumiem

Awatar użytkownika
kacper218
Expert
Expert
Posty: 4065
Rejestracja: 02 paź 2009, 14:33
Lokalizacja: Radzymin
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1379 razy
Płeć:

Post autor: kacper218 » 16 kwie 2013, 20:25

czego nie rozumiesz? którego fragmentu?
Pomogłem? Daj plusika :D
Masz pytania? Napisz priv
Przepisywanie prac do \(\LaTeX- a\)

Korepetycje Radzymin i okolice. :)

kuba [6]
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 136
Rejestracja: 13 lip 2012, 18:12
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 52 razy
Płeć:

Re: Dowód trójkąt

Post autor: kuba [6] » 17 kwie 2013, 15:35

\(a+b>c\) (z nierówności trójkąta)
podnosząc obustronnie do kwadratu dostaniemy:
\((a+b)^2=a^2+b^2+2ab>c^2\)
\(a^2+b^2 \ge 2ab\) bo \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2 \ge 0\quad co\quad jest\quad zawsze\quad prawdziwe \quad i \quad(a,b) \in R_+\)
\(zatem \quad a^2+b^2+2ab \le 2(a^2+b^2)\)
\(c^2<a^2+b^2+2ab \le 2(a^2+b^2) \quad\) czyli
\(c^2<2(a^2+b^2)\quad|:2\)
\(a^2+b^2> \frac{1}{2} c^2\) co mieliśmy udowodnić.