Dowód trójkąt

[kubkow]

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to \(a^{2}\) + \(b^{2}\) >\(\frac{1}{2}\) \(c^{2}\)

Myślałem, żeby rozważyć tutaj trzy sytuacje:
1) trójkąt prostokątny
2) trójkąt rozwartokątny
3) trójkąt ostrokątny
ale nie wiem za bardzo jak to zrobić..

Trójkąt prostokątny: wiadomo, że \(a^{2}\) + \(b^{2}\)= \(c^{2}\)
podstawiając do równania początkowego, po równoważnych przekształceniach wychodzi \(a^{2}\) + \(b^{2}\)>0 , wiec nierówność jest prawdziwa...ale co zrobić w kolejnych??

[kacper218]

Wykorzystaj twierdzenie cosinusów
Zadanie takie pojawiło się na próbnej maturze serwisu
http://www.zadania.info/d1571/81482R

[kubkow]

wiem, ale zupełnie tego nie rozumiem

[kacper218]

czego nie rozumiesz? którego fragmentu?

[kuba [6]]

\(a+b>c\) (z nierówności trójkąta)
podnosząc obustronnie do kwadratu dostaniemy:
\((a+b)^2=a^2+b^2+2ab>c^2\)
\(a^2+b^2 \ge 2ab\) bo \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2 \ge 0\quad co\quad jest\quad zawsze\quad prawdziwe \quad i \quad(a,b) \in R_+\)
\(zatem \quad a^2+b^2+2ab \le 2(a^2+b^2)\)
\(c^2<a^2+b^2+2ab \le 2(a^2+b^2) \quad\) czyli
\(c^2<2(a^2+b^2)\quad|:2\)
\(a^2+b^2> \frac{1}{2} c^2\) co mieliśmy udowodnić.