Bardzo prosze o pomoc stereometria

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Anetka102
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 56
Rejestracja: 01 gru 2009, 14:06
Podziękowania: 21 razy

Bardzo prosze o pomoc stereometria

Post autor: Anetka102 » 01 gru 2009, 14:09

1. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawedziach równych 9 . Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa.

2. Oblicz sinus konta nachylenia przekątnej sześcianu do podstawy tego sześcianu.

3. Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt równoramienny o ramieniu długości b i kącie ostrym alfa między ramionami . Pole podstawy jest równe sumie pól dwóch przystających ścian bocznych granisastosłupa. Wykaż , że wysokość graniastosłupa jest nie większa niż jedna czwarta b

4. Przekrój osiowy walca jest prostokątem w którym bok odpowiadający wysokości walca jest dwa razy wiekszy od drugiego boku prostokąta .
a)oblicz stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego podstawy .
b)Wyznacz sinus konta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny jego podstawy.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9852 razy
Płeć:

Post autor: irena » 01 gru 2009, 16:04

1.
Wszystkie ściany tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi o boku równym 9.
Jeżeli narysujesz trójkąt łączący wysokość ostrosłupa i jedną z krawędzi bocznych, to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątną jest krawędź boczna o długości 9, jedną z przyprostokątnych jest wysokość ostrosłupa (nazwałam ją H), a drugą przyprostokątną promień okręgu opisanego na podstawie, czyli opisanego na trójkącie prostokątnym o boku 9. Ten promień jest równy \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego, czyli ma długość równą \(3\cdot\sqrt{3}\).
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+(3\sqrt{3})^2=9^2\). Stąd \(H^2=81-27\); \(H=3\sqrt{6}\).

2.
Kąt nachylenia przekątnej sześcianu do podstawy jest kątem między przekątną sześcianu a przekątną jego podstawy.
W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątnymi są: krawędź boczna sześcianu (jej długość nazwałam a) oraz przekątna podstawy sześcianu (o długości \(a\cdot\sqrt{2}\)), przeciwprostokątna to przekątna sześcianu.
Jej długość można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, wynosi \(a\cdot\sqrt{3}\).
sinus opisanego kąta =\(\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\).

3.
Pole podstawy graniastosłupa \(P_p=\frac{1}{2}b^2sin\alpha\)
Przystające ściany boczne to prostokąty, w których jeden z boków to wysokość (H), a drugi ma długość b. Suma ich pól to 2bH.
Mamy więc: \(\frac{1}{2}b^2sin\alpha=2bH\), czyli \(H=\frac{1}{4}b\cdot\sin\alpha\).

Ponieważ \(0<\alpha<\pi\), więc \(0<sin\alpha\leq1\).

Stąd \(H\leq\frac{1}{4}b\).

4.
Oznaczyłam H - wysokość walca, r - promień podstawy walca.
Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach H i 2r.
Z treści zadania wynika, że \(H=2\cdot2r\), czyli H = 4r.

a)
Pole powierzchni bocznej walca - \(P_b=2\pi\cdot{rH}= 8\pi\cdot{r^2}\).
Pole podstawy walca \(P_p=\pi\cdot{r^2}\)

\(\frac{P_b}{P_p}=8\).

b)
Kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do podstawy walca (nazwałam go \(\alpha\)), to kąt między przekątną prostokąta (p) a jego podstawą. Z twierdzenia Pitagorasa: \(p^2=(2r)^2+H^2\),
\(p^2=(2r)^2+(4r)^2\)
\(p^2=20r^2\), \(p=2r\sqrt{5}\)

\(sin\alpha=\frac{4r}{2r\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Anetka102
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 56
Rejestracja: 01 gru 2009, 14:06
Podziękowania: 21 razy

Post autor: Anetka102 » 01 gru 2009, 16:44

1.Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawedziach jednakowej długości.
Oblicz sinus kata nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
2.Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawedziach bocznych dwa razy dluższych od krawędzi podstawy.Oblicz tangensa kata nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
3.Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny.Długość krawedzi bocznej jest o 2 wieksza od wysokości ostrosłupa . Krawędz boczna jest nachylona do podstawy pod katem , którego sinus jest równy dwie trzecie .Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9852 razy
Płeć:

Post autor: irena » 01 gru 2009, 19:53

1.
Oznaczyłam długości tych krawędzi a.
Kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy ty kąt między wysokością ściany bocznej tego ostrosłupa a promieniem okręgu wpisanego w kwadrat, który jest podstawą ostrosłupa (\(r=\frac{1}{2}a\)). Wysokość ścia ny bocznej tego ostrosłupa to wysokość trójkąta równobocznego o boku a (\(h_b=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)).
Powstał w ten sposób trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest \(h_b\), a przyprostokątnymi: wysokość ostrosłupa (H) i promień okręgu wpisanego w podstawę (r).

Z twierdzenia Pitagorasa: \(H^2+r^2=h_b^2\). Czyli \(H^2+\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{4}a^2\),

czyli \(H=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

\(sin\alpha=\frac{H}{h_b}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\).

2.
Jeśli krawędź podstawy nazwiesz a, to krawędź boczna ma długość 2a. Wysokość ostrosłupa nazwałam H.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do jego podstawy to kąt między krawędzią boczną a promieniem okręgu opisanego na podstawie (jest to trójkąt równoboczny o boku a).
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna to krawędź boczna ostrosłupa (2a), a przyprostokątne to wysokość ostrosłupa (H) i promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a
(\(R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)).

Z twierdzenia Pitagorasa: \(H^2+R^2=(2a)^2\) , \(H^2+\frac{3a^2}{9}=4a^2\)
czyli \(H=\frac{a\sqrt{33}}{3}\)

\(tg\alpha=\frac{H}{R}=\sqrt{11}\).

3.
Oznaczyłam wysokość ostrosłupa H. Krawędź boczna ma więc długość H + 2.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy (\(\alpha\)) to kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a promieniem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.

Otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest krawędź boczna (H + 2), a przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(\alpha\) jest wysokość ostrosłupa (H).

\(sin\alpha=\frac{H}{H+2}=\frac{2}{3}\)

Stąd 3H=2(H+2), czyli H = 4.

Anetka102
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 56
Rejestracja: 01 gru 2009, 14:06
Podziękowania: 21 razy

Post autor: Anetka102 » 01 gru 2009, 21:20

1.Pole powierzchni bocznej stożka jest dwa razy większe od pola podstawy stożka.Wykaz ze tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod katem 60 stopni.
2.Suma pól podstawy walca jest równa polu jego powierzchni bocznej.Wykaz ze przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do podstawy pod kątem którego tangens jest równy jedna druga.
3.Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokatny którego wszystkie krawedzie maja jednakową długość.Objetość graniastosłupa jest równa 12 pierwiastków z trzech.wyznacz długość krawedzi tego graniastosłupa.
4.Przekatna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni.Podstawa prostopadłościanu jest kwadratem o boku 3.Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłaścianu.
5.Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny którego wszystkie krawedzie mają jednakowa długość .Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 12,5 (pierwiastek 3 plus 6 ).Wyznacz długość krawędzi tego graniastosłupa.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9852 razy
Płeć:

Post autor: irena » 02 gru 2009, 00:21

1.
\(\pi\cdot{rl}=2\pi\cdot{r^2}\), l = 2r, gdzie l- tworząca, r - promień podstawy.

Jeśli \(\alpha\) jest szukanym kątem, to \(cos\alpha=\frac{r}{l}=\frac{1}{2}\).

Stąd \(\alpha=60^o\).

2.
\(2\pi\cdot{r^2}=2\pi\cdot{rH}\), r = H.

Kąt, o którym mowa to kąt między średnicą podstawy a przekątną przekroju osiowego.

\(tg\alpha=\frac{H}{2r}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}\).

3.
Oznaczmy długość krawędzi x.

Podstawa jest sześciokątem foremnym o boku x. Pole podstawy \(P_p=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=3x^2\sqrt{3}\).

Objętość graniastosłupa jest iloczynem pola podstawy i wysokości (która ma długość x.

Objętość \(V=3x^3\sqrt{3}\).

Zatem \(3x^3\sqrt{3}=12\sqrt{3}\). \(x^3=4\).

\(x=\sqrt[3]{4}\).

4.
Kąt opisany w zadaniu to kąt między przekątną prostopadłościanu a przekątną podstawy (ma ona długość \(3\sqrt{2}\)).

Wysokość graniastosłupa oznaczyłam H. \(tg60^o=\sqrt{3}=\frac{H}{3\sqrt{2}\). Stąd \(H=3\sqrt{6}\).

Pole powierzchni prostopadłościanu = \(2\cdot3^2+4\cdot3\cdot3\sqrt{6}=18+24\sqrt{6}\).

5.
Długość krawędzi oznaczyłam x. Powierzchnia składa się z dwóch trójkątów równobocznych o boku x i trzech kwadratów o boku x.

pole powierzchni \(P_p=2\cdot\frac{x^2\sqrt{3}}{4}+3x^2=12,5(\sqrt{3}+6)\).

\(x^2(\frac{\sqrt{3}}+3)=12.5\sqrt{3}+75\)

\(\frac{x^2(\sqrt{3}+6)}{2}=\frac{25\sqrt{3}+150}{2}\)

\(x^2=\frac{25\sqrt{3}+150}{\sqrt{3}+6}\cdot\frac{6-\sqrt{3}}{6-\sqrt{6}}\).

Po uproszczeniu mamy \(x^2=25\), czyli x=5.

Anetka102
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 56
Rejestracja: 01 gru 2009, 14:06
Podziękowania: 21 razy

Post autor: Anetka102 » 02 gru 2009, 10:37

1.Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawedzi podstawy 2a i krawedzi bocznej a pierwiastek z 5 oraz stożek o średnicy podstawy 2a i tworzacej a pierwiastek z 5.Oblicz stosunek objetosci ostrosłupa do objetosci stozka.
2. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawedzi podstawy a = 18 i kącie nachylenia krawedzi bocznej od płaszczyzny podstawy 60 stopni.wyznacz objetość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
3.Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawedzi podstawy długości a = 8 .Krawedz boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem alfa ze cos alfa = dwie trzecie.Wyznacz objetosc i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
4.Tworzaca stozka jest o 2 dłuższa od promienia jego podstawy.Pole powierzchni bocznej stozka jest rowne 120 pi.wyznacz objetosc tego stozka.

Anetka102
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 56
Rejestracja: 01 gru 2009, 14:06
Podziękowania: 21 razy

Post autor: Anetka102 » 02 gru 2009, 19:33

5.Długosc srednicy podstawy , wysokosci i przekątnej przekroju osiowego walca tworza ciag arytmetyczny o różnicy 2 i sumie 24
a)wyznacz objetosc walca
b)Wyznacz sinus kata jaki przekątna przekroju osiowego walca tworzy z płaszczyzną jego podstawy.
6.Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku długości boków 1:2 i polu 32 cm kwadratowych .Przekątna prostopadłościanu tworzy z jego wysokoscią kąt alfa taki ze sin alfa = trzy piąte .Wyznacz wymiary prostopadłościanu.
7.Podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC o bokach długości /AC/ = 6 i /BC/ = 8. Wysokość CD trójkata ABC tworzy z bokiem AC kąt 30 stopni a z bokiem BC kat 60 stopni .Długość wysokości ostrosłupa jest równa długości promieni okregu opisanego na podstawie ostrosłupa. Wyznacz objetość ostrosłupa.
8.Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach długości 7,13,8.Długość wysokości ostrosłupa jest równa długości promienia okregu wpisanego w podstawe graniastosłupa.Wyznacz objetosc graniastosłupa.