Zadanie z planimetrii

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a_b_c_
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 67
Rejestracja: 03 wrz 2011, 10:01
Podziękowania: 50 razy
Płeć:

Zadanie z planimetrii

Post autor: a_b_c_ » 26 mar 2013, 15:10

1. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 12 i 9. Na boku AB wybrano taki punkt D, że odcinki BC i BD mają równe długości. Oblicz cosinus kąta BCD, promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Bardzo proszę o pomoc.

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Post autor: Galen » 26 mar 2013, 16:37

\(|AC|=12\\|CB|=9\;\;\;\;to\;\;|AB|=15\)
\(|AC|=|DB|=9\;\;\;\;\;\;i\;\;\;|CD|=d\\
cosB=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\\tw.cosinusow\;:\\
d^2=9^2+9^2-2\cdot 9\cdot 9\cdot \frac{3}{5}\\
d^2=162-\frac{486}{5}=\frac{810-486}{5}=\frac{324}{5}\\
d=\sqrt{\frac{324}{5}}=\frac{18}{\sqrt{5}}\)

\(Tw.\;cos\;w\;\;BCD\\
9^2=d^2+9^2-2\cdot 9\cdot d\cdot cosBCD\)

\(81=81+\frac{324}{5}-18\cdot \frac{18}{\sqrt{5}}\cdot cos BCD\\18\cdot \frac{18}{\sqrt{5}}\cdot cos BCD=\frac{324}{5}\\
cos BCD=\frac{324}{5}\cdot \frac{\sqrt{5}}{324}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Z jedynki trygonometrycznej oblicz \(sin BCD=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
R z tw. sinusów
\(\frac{9}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2R\\
R=\frac{9\sqrt{5}}{4}\)

r oblicz ze związku połowy obwodu z polem trójkąta.
\(p\cdot r=P_{\Delta}\)
\(r=\frac{P_{\Delta}}{p}\)
\(P_{\Delta}=0,5 \cdot 9 \cdot 9 \cdot sinB\;\;\;i\;\;\;sinB= \frac{12}{15}= \frac{4}{5}\\
P_{\Delta}= \frac{81}{2} \cdot \frac{4}{5}= \frac{162}{5}\\
p=9+9+ \frac{18}{\sqrt{5}}= \frac{90+18 \sqrt{5} }{5}\\
r= \frac{ \frac{162}{5} }{ \frac{90+18 \sqrt{5} }{5} }= \frac{9}{5+ \sqrt{5} }=0,45(5- \sqrt{5})\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

ClaraPutko
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 03 maja 2018, 20:19
Płeć:

Re: Zadanie z planimetrii

Post autor: ClaraPutko » 23 mar 2019, 14:36

p to połowa obwodu, więc powinno się jeszcze przemnożyć przez 0,5

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Re: Zadanie z planimetrii

Post autor: Galen » 23 mar 2019, 20:12

ClaraPutko pisze:p to połowa obwodu, więc powinno się jeszcze przemnożyć przez 0,5
Masz rację.
Dzięki za czujność. :D
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.