Zadanie z planimetrii

[a_b_c_]

1. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 12 i 9. Na boku AB wybrano taki punkt D, że odcinki BC i BD mają równe długości. Oblicz cosinus kąta BCD, promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Bardzo proszę o pomoc.

[Galen]

\(|AC|=12\\|CB|=9\;\;\;\;to\;\;|AB|=15\)
\(|AC|=|DB|=9\;\;\;\;\;\;i\;\;\;|CD|=d\\
cosB=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\\tw.cosinusow\;:\\
d^2=9^2+9^2-2\cdot 9\cdot 9\cdot \frac{3}{5}\\
d^2=162-\frac{486}{5}=\frac{810-486}{5}=\frac{324}{5}\\
d=\sqrt{\frac{324}{5}}=\frac{18}{\sqrt{5}}\)
\(Tw.\;cos\;w\;\;BCD\\
9^2=d^2+9^2-2\cdot 9\cdot d\cdot cosBCD\)
\(81=81+\frac{324}{5}-18\cdot \frac{18}{\sqrt{5}}\cdot cos BCD\\18\cdot \frac{18}{\sqrt{5}}\cdot cos BCD=\frac{324}{5}\\
cos BCD=\frac{324}{5}\cdot \frac{\sqrt{5}}{324}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Z jedynki trygonometrycznej oblicz \(sin BCD=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
R z tw. sinusów
\(\frac{9}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2R\\
R=\frac{9\sqrt{5}}{4}\)
r oblicz ze związku połowy obwodu z polem trójkąta.
\(p\cdot r=P_{\Delta}\)
\(r=\frac{P_{\Delta}}{p}\)
\(P_{\Delta}=0,5 \cdot 9 \cdot 9 \cdot sinB\;\;\;i\;\;\;sinB= \frac{12}{15}= \frac{4}{5}\\
P_{\Delta}= \frac{81}{2} \cdot \frac{4}{5}= \frac{162}{5}\\
p=9+9+ \frac{18}{\sqrt{5}}= \frac{90+18 \sqrt{5} }{5}\\
r= \frac{ \frac{162}{5} }{ \frac{90+18 \sqrt{5} }{5} }= \frac{9}{5+ \sqrt{5} }=0,45(5- \sqrt{5})\)

[ClaraPutko]

p to połowa obwodu, więc powinno się jeszcze przemnożyć przez 0,5

[Galen]

p to połowa obwodu, więc powinno się jeszcze przemnożyć przez 0,5

Masz rację.
Dzięki za czujność.