Planimetria

[a_b_c_]

1. Długość jednego z boków trójkąta jest równa 6cm, a cosinus kąta leżącego przy tym boku jest równy \(\frac{1}{3}\) . Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, jeżeli promień opisanego na nim okręgu jest równy 9cm.

Bardzo proszę o pomoc.

[irena]

\(a=6cm\\cos\alpha=\frac{1}{3}\\R=9cm\)

b- długość boku leżącego naprzeciw kąta, którego cosinus znamy
c- długość trzeciego boku

\(sin\alpha=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(\frac{b}{sin\alpha}=2\cdot9\\b=18\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=12\sqrt{2}cm\)

Z twierdzenia cosinusów:
\(b^2=a^2+c^2-2ac cos\alpha\\(12\sqrt{2})^2=6^2+c^2-12c\cdot\frac{1}{3}\\288=36+c^2-4c\\c^2-4c-252=0\\\Delta=16+1008=1024\\c_1=\frac{4-32}{2}<0\ \vee\ c_2=\frac{4+32}{2}=18\\c=18cm\)

p- połowa obwodu
\(p=\frac{6+12\sqrt{2}+18}{2}=12+6\sqrt{2}\)

P- pole trójkąta
\(P=\frac{1}{2}ac sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot6\cdot18\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=36\sqrt{2}\\P=pr\\(12+6\sqrt{2})r=36\sqrt{2}\\6(2+\sqrt{2})r=36\sqrt{2}\\(2+\sqrt{2})r=6\sqrt{2}\\(4-2)r=6\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\\2r=6(2-\sqrt{2})\\r=3(2-\sqrt{2})cm\)

[radagast]

A ja mam do tego obrazek. Może nie potrzebny ale mam . Oznaczenia dopasowałam do oznaczeń Ireny .

ScreenHunter_255.jpg (11.03 KiB) Przejrzano 10614 razy

[irena]

Dzięki za obrazek. Podziwiam i pozdrawiam

[a_b_c_]

Hmm... A w jednym z działań nie powinno być: \(\frac{b}{sin \alpha }=2 \cdot 9\)? Bo promień wynosi 9, a nie 18.

Edit: Ale jednak nie wpływa to na poprawność dalszych obliczeń.

[irena]

Tak, zaraz poprawię. To tylko pomyłka w zapisie. Obliczenia są dobre

[Michal1428]

(4−2)r=6√2(√2 - 1) tu jest błąd. Powinno byc ....(2 - √2). A koncowy wynik to r = 6√2 - 6

[mastanikhan258]

Planimetrics is the study of plane measurements, including angles, distances, and areas. Planimetric elements in geography are those features that are independent of elevation, such as roads, building footprints, and rivers and lakes. They are represented on two-dimensional maps as they are seen from the air, or in aerial photography. These features are often digitized from orthorectified aerial photography into data layers that can be used in analysis and cartographic outputs.

A planimetric map is one that does not include relief data.