Trygonometria

[qwertywawa]

1. Dany jest romb, w którym przekątne mają długości 14 i 48. Oblicz sinus kąta rozwartego tego
rombu.
2. W trójkącie równoramiennym ramiona mają 10cm, a miara kąta znajdującego się między podstawą a ramieniem wynosi 22,5 stopnia. Oblicz pole tego trójkąta.
3 Kat \(\alpha\) jest rozwarty i \(sin \alpha = \frac{5}{13}\). Oblicz \(cos \alpha \cdot \sqrt{1+tg^2 \alpha\)

Proszę rozwiązanie i wytłumaczenie tych zadań. Z góry dzięki !

[kacper218]

\(\alpha \in (90^{o},180^{o})\\
sin\alpha=\frac{5}{13} \Rightarrow cos\alpha=-\frac{12}{13}\\
tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=-\frac{5}{12}\\
cos \alpha \cdot \sqrt{1+tg^2 \alpha}=(-\frac{12}{13})\cdot \sqrt{1+\frac{25}{144}}=(-\frac{12}{13})\cdot\frac{13}{12}=-1\)

[kacper218]

zadanie 2
Miara kąta między ramionami tego trójkąta wynosi \(180^{o}-2\cdot22,5^{o}=180^{o}-45^{o}=135^{o}\)
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}absin\alpha\)
Nasze pole wynosi \(P=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 10 \cdot sin135^{o}=50\cdot sin(180^{o}-45^{o})=25\sqrt2\)

[kacper218]

zadanie 1
Przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy
Na początek potrzebujemy długość boku. Liczymy z tw. Pitagorasa
\(a=\sqrt{24^2+7^2}=25\)
Liczymy pole ze wzoru \(P=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\), gdzie \(d_1, d_2\) to przekątne rombu.
\(P=7\cdot 48=336\\
P=\cdot 625\cdot sin\alpha\\
336=\cdot 625\cdot sin\alpha \Rightarrow sin\alpha=\frac{336}{625}\)