Twierdzenie sinusów, cosinusów

[jekyll]

1. W trójkącie ABC dane są BC=4cm, kąt BAC=45, ACB=15. Oblicz długości pozostałych boków, promień okręgu opisanego na tym trójkącie i pole. Wskazówka \(sin15 = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}\) \(cos15 = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}\)

2. Przekrój poprzeczny tortu jest trójkątem równoramiennym. Uzasadnij, że jeżeli pokroimy tort wzdłuż środkowych boków trójkąta, to każdy z gości otrzyma jedną z sześciu równych części.

3. Przekrój poprzeczny tortu jest trójkątem prostokątnym. Uzasadnij, że jeśli pokroimy tort wzdłuż środkowych boków trójkąta to każdy z gości otrzyma jedną z 6 równych części.

4. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną na odcinki o długości 2 i 8. Oblicz:
a) Pole trójkąta.
b) długości odcinków, na jakie dwusieczna kąta prostego podzieliła przeciwległy bok.
c) stosunek pola koła wpisanego w trójkąt do opisanego na trójkącie.

[Galen]

Zad.1
\(|AC|=b\\
|BC|=a=4 \;cm\\
|AB|=c\\ \angle A=45^o\\
\angle C=15^o\\
\angle B=180^o-(45+15)^o=120^o\)
Tw. sinusów:
\(\frac{a}{sinA}=2R\\
\frac{4}{sin45^o}=2R\\
\frac{4}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }=2R\\
4 \sqrt{2}=2R\\
R=2 \sqrt{2}\)
\(\frac{c}{sinC}=2R\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;sinC=sin15^o= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}\;\;\;\;i\;\;\;2R=4 \sqrt{2}\\
c=2R\cdot sinC=4 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}= \sqrt{12}- \sqrt{4} =2 \sqrt{3}-2 =2( \sqrt{3}-1)\\
\frac{b}{sinB}=2R\;\;\;\;\;i\;\;\;sin120^o=sin60^o= \frac{ \sqrt{3} }{2}\;\;i\;\;2R=4 \sqrt{2}\\
b=2R \cdot sinB=4 \sqrt{2}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=2 \sqrt{6}\\
Pole\;=\; \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot sin120^o= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (2 \sqrt{2}-2) \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}=2(3- \sqrt{3})\)

[jekyll]

Hmm, to dziwne. Odpowiedzi mówią, ze AC=12, AB = \(6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}\), promień \(4 \sqrt{3}\), a pole \(36-12 \sqrt{3}\)

[Galen]

Sprawdź oznaczenia.
Ja jutro przeliczę jeszcze raz.

[jekyll]

Sprawdziłem treść zadania - wszystko się zgadza, jak w 1. moim poście.

[josselyn]

4
a
\(p=2
q=8
h^2=pq
h^2=2*8=16
h=4
a=10
P=0.5ah=0.5*4*10=20\)

[josselyn]

4
c)
\(b^2=h^2+q^2=4^2+8^2=80
b=4 \sqrt{5}
c^2=h^2+p^2=2^2+4^2=20
c=2 \sqrt{5}
r=0.5(c+b-a)=0.5(6 \sqrt{5} -10)=3 \sqrt{5}-5
R=0.5a=0.5*10=5
\frac{ \pi r^2}{ \pi R^2}= \frac{r^2}{R^2}=( \frac{r}{R}) ^2= (\frac{3 \sqrt{5}-5}{5})^2= \frac{45-30 \sqrt{5}+25 }{25} = \frac{14-6 \sqrt{5} }{5}\)

[josselyn]

4
b
\(sin \beta = \frac{h}{c} = \frac{4}{2 \sqrt{5} }= \frac{2}{ \sqrt{5} }
sin \alpha = \frac{h}{b} = \frac{4}{4 \sqrt{5} }= \frac{1}{ \sqrt{5} }\)
tw sinusow
\(\frac{sin \beta }{x} = \frac{sin45}{y}
\frac{2}{ \sqrt{5}x }= \frac{ \sqrt{2} }{2y}
4y= \sqrt{10}x\)
tw sinusow
\(\frac{sin \alpha }{x} = \frac{sin45}{z}
\frac{1}{ \sqrt{5}x }= \frac{ \sqrt{2} }{2z}
2z= \sqrt{10}x\)
\(2z=4y
z=2y
y+z=10
3y=10
y= \frac{10}{3}
z=2y= \frac{20}{3}\)

[irena]

2. i 3.
http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=20&t=8870

[irena]

Hmm, to dziwne. Odpowiedzi mówią, ze AC=12[/tex]

Jeśli bok leżący naprzeciw kąta 45 stopni ma długość 4, to bok leżący naprzeciw mniejszego kąta (15 stopni) musi być krótszy. Nie może więc być, że |BC|=4 i |AC|=12

[Galen]

Hmm, to dziwne. Odpowiedzi mówią, ze AC=12, AB = \(6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6}\), promień \(4 \sqrt{3}\), a pole \(36-12 \sqrt{3}\)

Takie długości boków nie spełniają warunku,że suma każdych dwóch boków ma być większa od trzeciego boku.

Możesz podać źródło ?

Liczę raz jeszcze,ale otrzymuję to samo co wczoraj.

[jekyll]

Źródła nie mogę podać, bo to po prostu jest taka zwykła kartka ze kserowanymi różnymi zadaniami.
Dzięki za pomoc!