proszę o pomoc w rozwiazaniu:
W trójkacie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 24, a jeden z katów ostrych ma miarę \(\frac{1}{6} \pi\). Rozpatrz prostokąty , których dwa wierzchołki należą do przeciwprostokatnej, a dwa pozostałe do przyprostokątnych tego trójkąta. Jakiej długości powinn być boki tego prostokata, aby jego pole było najiększe?
dziękuję
długości boków prostokąta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
ABCD- prostokąt, bok AB leży na przeciwprostokątnej PR trójkąta PRS
|AB|=|CD|=a
|BC|=|AD|=b
\(|PR|=24\\|RS|=12\sqrt{3}\\|PS|=12\)
W trójkącie prostokątnym CDS
\(|CD|=a\\|DS|=\frac{a}{2}\\|CS|=\frac{a}{2}\sqrt{3}\)
W trójkącie prostokątnym CBR
\(|BC|=b\\|CR|=2b\)
\(|CS|=12\sqrt{3}-2b\\12\sqrt{3}-2b=\frac{a}{2}\sqrt{3}\\2b=12\sqrt{3}-\frac{a}{2}\sqrt{3}\\b=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}a\)
\(P=ab\\P=a(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})=-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+6\sqrt{3}a\\a_w=\frac{-6\sqrt{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=12\\a=12\\b=6\sqrt{3}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)
|AB|=|CD|=a
|BC|=|AD|=b
\(|PR|=24\\|RS|=12\sqrt{3}\\|PS|=12\)
W trójkącie prostokątnym CDS
\(|CD|=a\\|DS|=\frac{a}{2}\\|CS|=\frac{a}{2}\sqrt{3}\)
W trójkącie prostokątnym CBR
\(|BC|=b\\|CR|=2b\)
\(|CS|=12\sqrt{3}-2b\\12\sqrt{3}-2b=\frac{a}{2}\sqrt{3}\\2b=12\sqrt{3}-\frac{a}{2}\sqrt{3}\\b=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}a\)
\(P=ab\\P=a(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})=-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2+6\sqrt{3}a\\a_w=\frac{-6\sqrt{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=12\\a=12\\b=6\sqrt{3}-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)
-
eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
