Oblicz w jakim stosunku wyskokość dzieli przeciwprostokątną

[Anek6]

Oblicz w jakim stosunku wyskokość dzieli przeciwprostokątną trójkąta, jeżeli dwusieczka kąta prostego dzieli przeciwprostokatna w stosunku 2:3

[anka]

Oblicz w jakim stosunku wyskokość dzieli przeciwprostokątną.png (11.15 KiB) Przejrzano 380 razy

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta
\(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{BC|}\\
\frac{2}{3}=\frac{b}{a}\\
a=1,5b\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC
\(|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2\\
|AB|^2=b^2+(1,5b)^2\\
|AB|=\frac{b\sqrt{13}}{2}\)

Obliczam \(|AE|\)
\(b^2-x^2=(1,5b)^2-(\frac{b\sqrt{13}}{2}-x)^2\\
...\\
x=|AE|=\frac{2b\sqrt{13}}{13}\)

Obliczam \(|EB|\)
\(|EB|=|AB|-|AE|\\
|EB|=\frac{b\sqrt{13}}{2}-\frac{2b\sqrt{13}}{13}\\
|EB|=\frac{9b\sqrt{13}}{26}\)

Obliczam \(\frac{|AE|}{|EB|}\)
\(\frac{|AE|}{|EB|}=\frac{\frac{2b\sqrt{13}}{13}}{\frac{9b\sqrt{13}}{26}}\\
\frac{|AE|}{|EB|}=\frac{4}{9}\)