twierdzenie cos i sin

[strawbberry]

1.Znając długość c podstawy AB trójkąta równoramiennego ABC oraz miarę kąta \(\alpha\) przy podstawie oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka B do ramienia AC.
2.Znając długości boków czworokąta wpisanego w okrąg,oblicz cosinusy kątów wewnętrznych tego czworokąta.
3.W rombie o boku a przekątna BD ma długość równą 6.Oblicz długość przekątnej AC i kąt ostry rombu.







Z góry bardzo dziękuję za rozwiązanie !

[radagast]

1.

ScreenHunter_090.jpg (5.4 KiB) Przejrzano 1911 razy

Kąt przy wierzchołku C ma miarę \(\pi -2 \alpha\)
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ABC:
\(\frac{c}{sin( \pi -2 \alpha )} = \frac{b}{sin \alpha }\)

\(\frac{c}{sin 2 \alpha } = \frac{b}{sin \alpha }\)

\(\frac{c}{2sin \alpha cos \alpha } = \frac{b}{sin \alpha }\)

stąd
\(b=\frac{c}{2cos \alpha }\) , \(\frac{b}{2} =\frac{c}{4cos \alpha }\)

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD

\(x^2= (\frac{b}{2})^2+c^2-2 \frac{b}{2} ccos \alpha\)

\(x^2= (\frac{c}{4cos \alpha } )^2+c^2-\frac{c}{2cos \alpha } ccos \alpha\)

\(x^2= \frac{c^2}{16cos^2 \alpha } +\frac{c^2}{2 }\)

\(x= c \sqrt{\frac{1}{16cos^2 \alpha } +\frac{1}{2 } }\)

[radagast]

2.

ScreenHunter_093.jpg (11.8 KiB) Przejrzano 1909 razy

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC: \(e^2=a^2+b^2-2abcos \beta\)
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ACD: \(e^2=c^2+d^2-2cdcos ( \pi - \beta )\)
czyli \(a^2+b^2-2abcos \beta =c^2+d^2-2cdcos ( \pi - \beta )\)
czyli \(a^2+b^2-2abcos \beta =c^2+d^2+2cdcos (\beta )\)
stąd \(cos (\beta )= \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2ab+2cd}\)
a \(cos ( \pi - \beta ) =\frac{c^2+d^2-a^2-b^2}{2ab+2cd}\)
analogicznie należy policzyć cosinusy dwóch pozostałych kątów (pozostawiam Ci to jako test zrozumienia)

[radagast]

3.W rombie o boku a przekątna BD ma długość równą 6.

Podejrzewam, że ta szóstka to jest b. Tak też zrobię to zadanie (jeśli nie, to poprostu podstaw b=6)

ScreenHunter_097.jpg (4.33 KiB) Przejrzano 1908 razy

Z twierdzenia Pitagorasa \(\frac{x^2}{4} =a^2- \frac{b^2}{4}\)
zatem
\(x= \sqrt{4a^2-b^2}\)

\(cos{ \frac{ \alpha }{2}} = \frac{b}{2a}\)

no to
\(cos \alpha =2cos^2 \frac{ \alpha }{2}-1= \frac{b^2}{2a^2} -1\)

[xenoneq_o0]

Co trzeba podstawić pod 'a' ?

[radagast]

Nic. Zostawić tak jak jest

[xenoneq_o0]

dzieki, ostatnie pytanie skad wyliczyles/aś cos alfa ? (zad 3 oczywiscie) bo nie do konca rozumiem

[radagast]

Ze wzoru na cosinus podwojenia. On ma 3 wersje :
\(\cos 2 \alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha =2\cos^2 \alpha -1=1-2\sin^2 \alpha \)
(skorzystałam z tej drugiej)