W okrąg o promieniu długości r wpisano kwadrat, w który następnie wpisano okrąg, a w ten okrąg wpisano kwadrat itd.
Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kwadratów.
Koło opisane i wpisane w krwadrat
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(2r=a_1\sqrt{2}\)
\(a_1=r\sqrt{2}\)
czyli:
\(P_1=2r^2\)
\(a_2\sqrt{2}=\frac{r+\sqrt{2}}{2}\)
\(a_2=\frac{r}{2}\)
czyli:
\(P_2=\frac{1}{4}r^2\)
\(a_3\sqrt{2}=\frac{r}{4}\)
\(a_3=\frac{r\sqrt{2}}{8}\)
czyli:
\(P_3=\frac{1}{32}r^2\)
obliczamy \(q\):
\(\frac{P_1}{P_2}=\frac{1}{8}\)
można sprawdzić czy zgadzasie sie to dla \(\frac{P_2}{P_3}\)
jest to prawda: \(\frac{P_2}{P_3}=\frac{1}{8}\)
zatem ze wzoru na sumę szeregu liczymy sumę pól tych kwadratów:
\(S=\frac{a_1}{1-q}\)
\(S=\frac{2r^2}{\frac{7}{8}}\)
wychodzi nam:
\(S=\frac{16r^2}{7}\)
\(a_1=r\sqrt{2}\)
czyli:
\(P_1=2r^2\)
\(a_2\sqrt{2}=\frac{r+\sqrt{2}}{2}\)
\(a_2=\frac{r}{2}\)
czyli:
\(P_2=\frac{1}{4}r^2\)
\(a_3\sqrt{2}=\frac{r}{4}\)
\(a_3=\frac{r\sqrt{2}}{8}\)
czyli:
\(P_3=\frac{1}{32}r^2\)
obliczamy \(q\):
\(\frac{P_1}{P_2}=\frac{1}{8}\)
można sprawdzić czy zgadzasie sie to dla \(\frac{P_2}{P_3}\)
jest to prawda: \(\frac{P_2}{P_3}=\frac{1}{8}\)
zatem ze wzoru na sumę szeregu liczymy sumę pól tych kwadratów:
\(S=\frac{a_1}{1-q}\)
\(S=\frac{2r^2}{\frac{7}{8}}\)
wychodzi nam:
\(S=\frac{16r^2}{7}\)