trapez i okręgi

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
aneta korbal
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 323
Rejestracja: 14 paź 2010, 21:56
Podziękowania: 193 razy
Płeć:

trapez i okręgi

Post autor: aneta korbal »

zad.1.Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu opisanego na tym trapezie.Przekątna trapezu ma dł.6 \frac{2}{3} , a ramię 5.Oblicz dł.wysokosci trapezu, dl. promienia okregu, pole trapezu.

zad.2Trapez wpisano w okrag o promieniu dł.5.Środek okręgu nalezy do trapezu i znajduje się w odległości 4 od krótszej podstawy oraz 3 od dłuzszej podstawy.Oblicz obwód i pole trapezu.

zad.3 Trapez na którym można opisac okrąg i w który można wpisac okrąg ma podstawy dł.12 i 3.Oblicz pole trapezu.

zad.4 Na okręgu którego dł promienia wynosi 2, opisano trapez rownoramienny o polu 20. Oblicz długości boków trapezu.

zad.5 Na okręgu którego dł promienia wynosi 5 opisano trapez prostokątny którego najkrótszy bok ma dł.7,5. Oblicz pole tego trapezu.

zad.6 Na okregu opisano trapez prostokątny.Odległosci środka okręgu od końców dłuższego ramienia wynoszą3 i 7.Oblicz pole trapezu.

Proszę o pomc, geometria nie jest moją najlepsza stroną.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

Na początek to, co trzeba wiedzieć:

- Jeśli w trapez wpisano okrąg (czyli trapez jest opisany na okręgu), to suma ramion jest równa sumie podstaw.
Jednocześnie wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu.

- Jeśli na trapezie opisano okrąg (czyli trapez jest wpisany w okrąg), to trapez jest równoramienny.

Wynika to z własności czworokąta opisanego na okręgu (sumy par przeciwległych boków są równe) oraz własności czworokąta wpisanego w okrąg (sumy par przeciwległych kątów są równe, suma przeciwległych kątów jest kątem półpełnym).

- Jeśli średnica okręgu opisanego na trójkącie jest równa długości jednego z boków trójkąta, to trójkąt jest prostokątny, a średnica jest przeciwprostokątną.
Wynika to z faktu, że kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest kątem prostym.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1)
Nazwałam trapez ABCD, gdzie AB jest średnicą okręgu opisanego na trapezie. Trapez jest równoramienny.
Poprowadź przekątną AC. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
Nazwałam: |AB|=a, |CD|=b, |BC|=5, wysokość trapezu |CE|=h, |EB|=x, r- promień okręgu opisanego

W trójkącie ABC:
\(a^2=5^2+(6\frac{2}{3})^2\\a^2+25+(\frac{20}{3})^2\\a^2=25+\frac{400}{9}=\frac{625}{9}\\a=\frac{25}{3}\)

\(r=\frac{1}{2}a\\r=\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}=\frac{25}{6}\)

Z pola trójkąta ABC:
\(\frac{1}{2}\cdot5\cdot\frac{20}{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}\cdot\ h\\25h=100\\h=4\)

W trójkącie BCE:
\(4^2+x^2=5^2\\x^2=25-16=9\\x=3\)

\(b=a-2x\\b=\frac{25}{3}-6=\frac{7}{3}\)

Pole trapezu:
\(P=\frac{\frac{25}{3}+\frac{7}{3}}{2}\cdot4=\frac{32}{3}\cdot2=\frac{64}{3}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2)
Trapez jest równoramienny.
Nazwałam trapez ABCD, gdzie AB to dłuższa, a CD krótsza podstawa.
O- środek okręgu
Poprowadź wysokość KL przez punkt O. Oznacz: |BL|=x, |CK|=y
W trójkącie BOL:
\(x^2+3^2=5^2\\x^2=25-9=16\\x=4\\|AB|=2x\\|AB|=8\)

W trójkącie OCK:
\(y^2+4^2=5^2\\y^2=25-16=9\\y=3\\|CD|=2y\\|CD|=6\)

h- wysokość trapezu
\(h=4+3=7\)

Pole trapezu:
\(P=\frac{8+6}{2}\cdot7=49\)

Poprowadź wysokość CE.
\(|EB|=\frac{8-6}{2}=1\)

c- ramię trapezu.

W trójkącie BEC:
\(h^2+1^2=c^2\\c^2=7^1+1^2=50\\c=5\sqrt{2}\)

Obwód trapezu:
\(Ob=8+6+2\cdot5\sqrt{2}=14+10\sqrt{2}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

3.
Trapez jest równoramienny. Suma ramion jest równa sumie podstaw

a- dłuższa podstawa, b- krótsza podstawa, c- ramię

Obwód trapezu:

\(Ob=a+b+2c\\a+b=2c\\Ob=2(a+b)\\Ob=2(12+3)=30\)


\(2c=a+b\\2c=12+3=15\\c=\frac{15}{2}\)

Poprowadź wysokość z końca krótszej podstawy. Odetnie ona z trapezu trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości h i x, gdzie h- wysokość trapezu, \(x=\frac{12-3}{2}=\frac{9}{2}\). Przeciwprostokątna to ramię trapezu.

\(h^2+(\frac{9}{2})^2=(\frac{15}{2})^2\\h^2=\frac{225}{4}-\frac{81}{4}=\frac{144}{4}=36\\h=6\)

Pole trapezu:
\(P=\frac{12+3}{2}\cdot6=15\cdot3=45\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

4.
Trapez jest równoramienny i suma ramion jest równa sumie podstaw.
Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu.

a- dłuższa podstawa
b- krótsza podstawa
c- ramię
h- wysokość

\(h=2\cdot2=4\\P=20\\P=\frac{a+b}{2}\cdot\ h\\\frac{a+b}{2}\cdot4=20\\a+b=10\\2c=10\\c=5\)

Poprowadź wysokość z końca krótszej podstawy.
x- odcinek odcięty z dłuższej podstawy
\(x^2+4^2=5^2\\x^2=25-16=9\\x=3\)

\(a=b+2x\\a=b+6\\a+b=10\\b+6+b=10\\2b=4\\b=2\\a=2+6\\a=8\)

Boki trapezu mają długości: 8, 5, 2, 5.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

5.
Suma ramion trapezu jest równa sumie podstaw.
Wysokość trapezu (i krótsze jego ramię) jest równe średnicy okręgu.
h=10.
Wynika stąd, że to krótsza podstawa, b=7,5.
Poprowadź wysokość z wierzchołka kąta rozwartego.
Dłuższa podstawa podzielona jest tą wysokością na odcinki o długościach 7,5 i x.
c- ramię trapezu.
a- dłuższa podstawa
\(a=7,5+x\\a+b=10+c\\7,5+7,5+x=c+10\\c=x+5\)

\(10^2+x^2=c^2\\100+x^2=(x+5)^2\\100+x^2=x^2+10x+25\\10x=75\\x=7,5\\a=15\)

Pole trapezu:
\(P=\frac{15+7,5}{2}\cdot10=22,5\cdot5=112,5\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

6.
Narysuj trapez ABCD, w którym ramię AD jest prostopadłe do podstaw AB- dłuższej i CD- krótszej.
Zaznacz w trapezie środek okręgu wpisanego - punkt O. Promień tego okręgu - r.
Poprowadź wysokość KM przez punkt O tak, że K należy do AB, M należy do CD.
Wtedy:
|AD|=|KM|=2r- wysokość trapezu
Poprowadź promień okręgu wpisanego OL do dłuższego ramienia BC.
|DM|=|AK|=|MO|=|OK|=|OL|=r
|CM|=|CL|=x
|KB|=|BL|=y
(te równości wynikają z równości odcinków stycznych)
|OC|=k=3
|OB|=l=7
Trójkąt MOC jest przystający do trójkąta COL oraz trójkąt OKB jest przystający do trójkąta OLB.
Pole trapezu KBCM jest więc 2 razy większe od pola trójkąta BOC.

W trójkątach MOC i KBO:
\(x+2+r^2=k^2\\y^2+r^2=l^2\)
Po dodaniu stronami mamy:
\(x^2+2r^2+y^2=k^2+l^2\) (*)

Poprowadź w trapezie wysokość CE.
Wtedy trójkąt CEB jest prostokątny oraz:
\(|CE|=2r\\|BC|=x+y\\|BE|=y-x\)

\((2r)^2=(x+y)^2-(y-x)^2\\4r^2=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2\\4r^2=4xy\\r^2=xy\)

Podstawiam to do (*):
\(x^2+2xy+y^2=k^2+l^2\\k^2+l^2=(x+y)^2\)

Wynika stąd:
\(|OC|^2+|OB|^2=|BC|^2\)
czyli trójkąt BOC jest prostokątny.
Stąd:
\((x+y)^2=k^2+l^2\\(x+y)^2=3^2+7^2=9+49=58\\x+y=\sqrt{58}\)

Pole trójkąta BOC:
\(P_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot7=\frac{21}{2}\)

Pole trapezu KBCM:
\(P_{KBCM}=2\cdot\frac{21}{2}=21\)

\(P_{KBCM}=\frac{x+y}{2}\cdot2r=21\\r(x+y)=21\\r\cdot\sqrt{58}=21\\r=\frac{21}{\sqrt{58}}\\r^2=\frac{441}{58}\)

Pole prostokąta AKMD:
\(P_{AKMD}=r\cdot2r=2r^2\\P_{AKMD}=2\cdot\frac{441}{58}=\frac{441}{29}\)

Pole trapezu ABCD:
\(P_{ABCD}=P_{KBCM}+P_{AKMD}\\P_{ABCD}=21+\frac{441}{29}=\frac{1050}{29}\)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

P. S.
Jeśli mogę radzić- nie wrzucaj tylu zadań do jednego postu, wtedy - sądzę- szybciej doczekasz się rozwiązania. I będzie to bardziej czytelne.
ODPOWIEDZ