zad.1.Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu opisanego na tym trapezie.Przekątna trapezu ma dł.6 \frac{2}{3} , a ramię 5.Oblicz dł.wysokosci trapezu, dl. promienia okregu, pole trapezu.
zad.2Trapez wpisano w okrag o promieniu dł.5.Środek okręgu nalezy do trapezu i znajduje się w odległości 4 od krótszej podstawy oraz 3 od dłuzszej podstawy.Oblicz obwód i pole trapezu.
zad.3 Trapez na którym można opisac okrąg i w który można wpisac okrąg ma podstawy dł.12 i 3.Oblicz pole trapezu.
zad.4 Na okręgu którego dł promienia wynosi 2, opisano trapez rownoramienny o polu 20. Oblicz długości boków trapezu.
zad.5 Na okręgu którego dł promienia wynosi 5 opisano trapez prostokątny którego najkrótszy bok ma dł.7,5. Oblicz pole tego trapezu.
zad.6 Na okregu opisano trapez prostokątny.Odległosci środka okręgu od końców dłuższego ramienia wynoszą3 i 7.Oblicz pole trapezu.
Proszę o pomc, geometria nie jest moją najlepsza stroną.
trapez i okręgi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 323
- Rejestracja: 14 paź 2010, 21:56
- Podziękowania: 193 razy
- Płeć:
Na początek to, co trzeba wiedzieć:
- Jeśli w trapez wpisano okrąg (czyli trapez jest opisany na okręgu), to suma ramion jest równa sumie podstaw.
Jednocześnie wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu.
- Jeśli na trapezie opisano okrąg (czyli trapez jest wpisany w okrąg), to trapez jest równoramienny.
Wynika to z własności czworokąta opisanego na okręgu (sumy par przeciwległych boków są równe) oraz własności czworokąta wpisanego w okrąg (sumy par przeciwległych kątów są równe, suma przeciwległych kątów jest kątem półpełnym).
- Jeśli średnica okręgu opisanego na trójkącie jest równa długości jednego z boków trójkąta, to trójkąt jest prostokątny, a średnica jest przeciwprostokątną.
Wynika to z faktu, że kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest kątem prostym.
- Jeśli w trapez wpisano okrąg (czyli trapez jest opisany na okręgu), to suma ramion jest równa sumie podstaw.
Jednocześnie wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu.
- Jeśli na trapezie opisano okrąg (czyli trapez jest wpisany w okrąg), to trapez jest równoramienny.
Wynika to z własności czworokąta opisanego na okręgu (sumy par przeciwległych boków są równe) oraz własności czworokąta wpisanego w okrąg (sumy par przeciwległych kątów są równe, suma przeciwległych kątów jest kątem półpełnym).
- Jeśli średnica okręgu opisanego na trójkącie jest równa długości jednego z boków trójkąta, to trójkąt jest prostokątny, a średnica jest przeciwprostokątną.
Wynika to z faktu, że kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest kątem prostym.
1)
Nazwałam trapez ABCD, gdzie AB jest średnicą okręgu opisanego na trapezie. Trapez jest równoramienny.
Poprowadź przekątną AC. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
Nazwałam: |AB|=a, |CD|=b, |BC|=5, wysokość trapezu |CE|=h, |EB|=x, r- promień okręgu opisanego
W trójkącie ABC:
\(a^2=5^2+(6\frac{2}{3})^2\\a^2+25+(\frac{20}{3})^2\\a^2=25+\frac{400}{9}=\frac{625}{9}\\a=\frac{25}{3}\)
\(r=\frac{1}{2}a\\r=\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}=\frac{25}{6}\)
Z pola trójkąta ABC:
\(\frac{1}{2}\cdot5\cdot\frac{20}{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}\cdot\ h\\25h=100\\h=4\)
W trójkącie BCE:
\(4^2+x^2=5^2\\x^2=25-16=9\\x=3\)
\(b=a-2x\\b=\frac{25}{3}-6=\frac{7}{3}\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{\frac{25}{3}+\frac{7}{3}}{2}\cdot4=\frac{32}{3}\cdot2=\frac{64}{3}\)
Nazwałam trapez ABCD, gdzie AB jest średnicą okręgu opisanego na trapezie. Trapez jest równoramienny.
Poprowadź przekątną AC. Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
Nazwałam: |AB|=a, |CD|=b, |BC|=5, wysokość trapezu |CE|=h, |EB|=x, r- promień okręgu opisanego
W trójkącie ABC:
\(a^2=5^2+(6\frac{2}{3})^2\\a^2+25+(\frac{20}{3})^2\\a^2=25+\frac{400}{9}=\frac{625}{9}\\a=\frac{25}{3}\)
\(r=\frac{1}{2}a\\r=\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}=\frac{25}{6}\)
Z pola trójkąta ABC:
\(\frac{1}{2}\cdot5\cdot\frac{20}{3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}\cdot\ h\\25h=100\\h=4\)
W trójkącie BCE:
\(4^2+x^2=5^2\\x^2=25-16=9\\x=3\)
\(b=a-2x\\b=\frac{25}{3}-6=\frac{7}{3}\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{\frac{25}{3}+\frac{7}{3}}{2}\cdot4=\frac{32}{3}\cdot2=\frac{64}{3}\)
2)
Trapez jest równoramienny.
Nazwałam trapez ABCD, gdzie AB to dłuższa, a CD krótsza podstawa.
O- środek okręgu
Poprowadź wysokość KL przez punkt O. Oznacz: |BL|=x, |CK|=y
W trójkącie BOL:
\(x^2+3^2=5^2\\x^2=25-9=16\\x=4\\|AB|=2x\\|AB|=8\)
W trójkącie OCK:
\(y^2+4^2=5^2\\y^2=25-16=9\\y=3\\|CD|=2y\\|CD|=6\)
h- wysokość trapezu
\(h=4+3=7\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{8+6}{2}\cdot7=49\)
Poprowadź wysokość CE.
\(|EB|=\frac{8-6}{2}=1\)
c- ramię trapezu.
W trójkącie BEC:
\(h^2+1^2=c^2\\c^2=7^1+1^2=50\\c=5\sqrt{2}\)
Obwód trapezu:
\(Ob=8+6+2\cdot5\sqrt{2}=14+10\sqrt{2}\)
Trapez jest równoramienny.
Nazwałam trapez ABCD, gdzie AB to dłuższa, a CD krótsza podstawa.
O- środek okręgu
Poprowadź wysokość KL przez punkt O. Oznacz: |BL|=x, |CK|=y
W trójkącie BOL:
\(x^2+3^2=5^2\\x^2=25-9=16\\x=4\\|AB|=2x\\|AB|=8\)
W trójkącie OCK:
\(y^2+4^2=5^2\\y^2=25-16=9\\y=3\\|CD|=2y\\|CD|=6\)
h- wysokość trapezu
\(h=4+3=7\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{8+6}{2}\cdot7=49\)
Poprowadź wysokość CE.
\(|EB|=\frac{8-6}{2}=1\)
c- ramię trapezu.
W trójkącie BEC:
\(h^2+1^2=c^2\\c^2=7^1+1^2=50\\c=5\sqrt{2}\)
Obwód trapezu:
\(Ob=8+6+2\cdot5\sqrt{2}=14+10\sqrt{2}\)
3.
Trapez jest równoramienny. Suma ramion jest równa sumie podstaw
a- dłuższa podstawa, b- krótsza podstawa, c- ramię
Obwód trapezu:
\(Ob=a+b+2c\\a+b=2c\\Ob=2(a+b)\\Ob=2(12+3)=30\)
\(2c=a+b\\2c=12+3=15\\c=\frac{15}{2}\)
Poprowadź wysokość z końca krótszej podstawy. Odetnie ona z trapezu trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości h i x, gdzie h- wysokość trapezu, \(x=\frac{12-3}{2}=\frac{9}{2}\). Przeciwprostokątna to ramię trapezu.
\(h^2+(\frac{9}{2})^2=(\frac{15}{2})^2\\h^2=\frac{225}{4}-\frac{81}{4}=\frac{144}{4}=36\\h=6\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{12+3}{2}\cdot6=15\cdot3=45\)
Trapez jest równoramienny. Suma ramion jest równa sumie podstaw
a- dłuższa podstawa, b- krótsza podstawa, c- ramię
Obwód trapezu:
\(Ob=a+b+2c\\a+b=2c\\Ob=2(a+b)\\Ob=2(12+3)=30\)
\(2c=a+b\\2c=12+3=15\\c=\frac{15}{2}\)
Poprowadź wysokość z końca krótszej podstawy. Odetnie ona z trapezu trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości h i x, gdzie h- wysokość trapezu, \(x=\frac{12-3}{2}=\frac{9}{2}\). Przeciwprostokątna to ramię trapezu.
\(h^2+(\frac{9}{2})^2=(\frac{15}{2})^2\\h^2=\frac{225}{4}-\frac{81}{4}=\frac{144}{4}=36\\h=6\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{12+3}{2}\cdot6=15\cdot3=45\)
4.
Trapez jest równoramienny i suma ramion jest równa sumie podstaw.
Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu.
a- dłuższa podstawa
b- krótsza podstawa
c- ramię
h- wysokość
\(h=2\cdot2=4\\P=20\\P=\frac{a+b}{2}\cdot\ h\\\frac{a+b}{2}\cdot4=20\\a+b=10\\2c=10\\c=5\)
Poprowadź wysokość z końca krótszej podstawy.
x- odcinek odcięty z dłuższej podstawy
\(x^2+4^2=5^2\\x^2=25-16=9\\x=3\)
\(a=b+2x\\a=b+6\\a+b=10\\b+6+b=10\\2b=4\\b=2\\a=2+6\\a=8\)
Boki trapezu mają długości: 8, 5, 2, 5.
Trapez jest równoramienny i suma ramion jest równa sumie podstaw.
Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu.
a- dłuższa podstawa
b- krótsza podstawa
c- ramię
h- wysokość
\(h=2\cdot2=4\\P=20\\P=\frac{a+b}{2}\cdot\ h\\\frac{a+b}{2}\cdot4=20\\a+b=10\\2c=10\\c=5\)
Poprowadź wysokość z końca krótszej podstawy.
x- odcinek odcięty z dłuższej podstawy
\(x^2+4^2=5^2\\x^2=25-16=9\\x=3\)
\(a=b+2x\\a=b+6\\a+b=10\\b+6+b=10\\2b=4\\b=2\\a=2+6\\a=8\)
Boki trapezu mają długości: 8, 5, 2, 5.
5.
Suma ramion trapezu jest równa sumie podstaw.
Wysokość trapezu (i krótsze jego ramię) jest równe średnicy okręgu.
h=10.
Wynika stąd, że to krótsza podstawa, b=7,5.
Poprowadź wysokość z wierzchołka kąta rozwartego.
Dłuższa podstawa podzielona jest tą wysokością na odcinki o długościach 7,5 i x.
c- ramię trapezu.
a- dłuższa podstawa
\(a=7,5+x\\a+b=10+c\\7,5+7,5+x=c+10\\c=x+5\)
\(10^2+x^2=c^2\\100+x^2=(x+5)^2\\100+x^2=x^2+10x+25\\10x=75\\x=7,5\\a=15\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{15+7,5}{2}\cdot10=22,5\cdot5=112,5\)
Suma ramion trapezu jest równa sumie podstaw.
Wysokość trapezu (i krótsze jego ramię) jest równe średnicy okręgu.
h=10.
Wynika stąd, że to krótsza podstawa, b=7,5.
Poprowadź wysokość z wierzchołka kąta rozwartego.
Dłuższa podstawa podzielona jest tą wysokością na odcinki o długościach 7,5 i x.
c- ramię trapezu.
a- dłuższa podstawa
\(a=7,5+x\\a+b=10+c\\7,5+7,5+x=c+10\\c=x+5\)
\(10^2+x^2=c^2\\100+x^2=(x+5)^2\\100+x^2=x^2+10x+25\\10x=75\\x=7,5\\a=15\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{15+7,5}{2}\cdot10=22,5\cdot5=112,5\)
6.
Narysuj trapez ABCD, w którym ramię AD jest prostopadłe do podstaw AB- dłuższej i CD- krótszej.
Zaznacz w trapezie środek okręgu wpisanego - punkt O. Promień tego okręgu - r.
Poprowadź wysokość KM przez punkt O tak, że K należy do AB, M należy do CD.
Wtedy:
|AD|=|KM|=2r- wysokość trapezu
Poprowadź promień okręgu wpisanego OL do dłuższego ramienia BC.
|DM|=|AK|=|MO|=|OK|=|OL|=r
|CM|=|CL|=x
|KB|=|BL|=y
(te równości wynikają z równości odcinków stycznych)
|OC|=k=3
|OB|=l=7
Trójkąt MOC jest przystający do trójkąta COL oraz trójkąt OKB jest przystający do trójkąta OLB.
Pole trapezu KBCM jest więc 2 razy większe od pola trójkąta BOC.
W trójkątach MOC i KBO:
\(x+2+r^2=k^2\\y^2+r^2=l^2\)
Po dodaniu stronami mamy:
\(x^2+2r^2+y^2=k^2+l^2\) (*)
Poprowadź w trapezie wysokość CE.
Wtedy trójkąt CEB jest prostokątny oraz:
\(|CE|=2r\\|BC|=x+y\\|BE|=y-x\)
\((2r)^2=(x+y)^2-(y-x)^2\\4r^2=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2\\4r^2=4xy\\r^2=xy\)
Podstawiam to do (*):
\(x^2+2xy+y^2=k^2+l^2\\k^2+l^2=(x+y)^2\)
Wynika stąd:
\(|OC|^2+|OB|^2=|BC|^2\)
czyli trójkąt BOC jest prostokątny.
Stąd:
\((x+y)^2=k^2+l^2\\(x+y)^2=3^2+7^2=9+49=58\\x+y=\sqrt{58}\)
Pole trójkąta BOC:
\(P_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot7=\frac{21}{2}\)
Pole trapezu KBCM:
\(P_{KBCM}=2\cdot\frac{21}{2}=21\)
\(P_{KBCM}=\frac{x+y}{2}\cdot2r=21\\r(x+y)=21\\r\cdot\sqrt{58}=21\\r=\frac{21}{\sqrt{58}}\\r^2=\frac{441}{58}\)
Pole prostokąta AKMD:
\(P_{AKMD}=r\cdot2r=2r^2\\P_{AKMD}=2\cdot\frac{441}{58}=\frac{441}{29}\)
Pole trapezu ABCD:
\(P_{ABCD}=P_{KBCM}+P_{AKMD}\\P_{ABCD}=21+\frac{441}{29}=\frac{1050}{29}\)
Narysuj trapez ABCD, w którym ramię AD jest prostopadłe do podstaw AB- dłuższej i CD- krótszej.
Zaznacz w trapezie środek okręgu wpisanego - punkt O. Promień tego okręgu - r.
Poprowadź wysokość KM przez punkt O tak, że K należy do AB, M należy do CD.
Wtedy:
|AD|=|KM|=2r- wysokość trapezu
Poprowadź promień okręgu wpisanego OL do dłuższego ramienia BC.
|DM|=|AK|=|MO|=|OK|=|OL|=r
|CM|=|CL|=x
|KB|=|BL|=y
(te równości wynikają z równości odcinków stycznych)
|OC|=k=3
|OB|=l=7
Trójkąt MOC jest przystający do trójkąta COL oraz trójkąt OKB jest przystający do trójkąta OLB.
Pole trapezu KBCM jest więc 2 razy większe od pola trójkąta BOC.
W trójkątach MOC i KBO:
\(x+2+r^2=k^2\\y^2+r^2=l^2\)
Po dodaniu stronami mamy:
\(x^2+2r^2+y^2=k^2+l^2\) (*)
Poprowadź w trapezie wysokość CE.
Wtedy trójkąt CEB jest prostokątny oraz:
\(|CE|=2r\\|BC|=x+y\\|BE|=y-x\)
\((2r)^2=(x+y)^2-(y-x)^2\\4r^2=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2\\4r^2=4xy\\r^2=xy\)
Podstawiam to do (*):
\(x^2+2xy+y^2=k^2+l^2\\k^2+l^2=(x+y)^2\)
Wynika stąd:
\(|OC|^2+|OB|^2=|BC|^2\)
czyli trójkąt BOC jest prostokątny.
Stąd:
\((x+y)^2=k^2+l^2\\(x+y)^2=3^2+7^2=9+49=58\\x+y=\sqrt{58}\)
Pole trójkąta BOC:
\(P_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot7=\frac{21}{2}\)
Pole trapezu KBCM:
\(P_{KBCM}=2\cdot\frac{21}{2}=21\)
\(P_{KBCM}=\frac{x+y}{2}\cdot2r=21\\r(x+y)=21\\r\cdot\sqrt{58}=21\\r=\frac{21}{\sqrt{58}}\\r^2=\frac{441}{58}\)
Pole prostokąta AKMD:
\(P_{AKMD}=r\cdot2r=2r^2\\P_{AKMD}=2\cdot\frac{441}{58}=\frac{441}{29}\)
Pole trapezu ABCD:
\(P_{ABCD}=P_{KBCM}+P_{AKMD}\\P_{ABCD}=21+\frac{441}{29}=\frac{1050}{29}\)