Trapez

[kamilj90]

Przekątne AC i BD trapezu ABCD o podstawach AB i CD przecinają się w punkcie O. Wiedząc, że pole trójkąta ABO równe jest 4, a pole trójkąta CDO 9, oblicz pole trapezu ABCD.

[anka]

trapez...png (6.07 KiB) Przejrzano 2058 razy

Trójkąty ABO i CDO są podobne.
Obliczam skalę podobieństwa
\(k^2=\frac{P_{ABO}}{P_{CDO}}=\frac{4}{9}\\
k=\frac{2}{3}\)
Obliczam |DC|
\(\frac{|AB|}{|DC|}=k\\
\frac{|AB|}{|DC|}=\frac{2}{3}\\
|DC|=1,5 |AB|\)
Obliczam pole trójkąta BCO
\(P_{BCO}=P_{ABC}-P_{ABO}\\
P_{BCO}=\frac{|AB|h}{2} - 4\)
Obliczam pole trójkąta AOD
\(P_{AOD}=P_{DCO}-P_{CDO}\\
P_{AOD}=\frac{|DC|h}{2} - 9\\
P_{AOD}=\frac{1,5 |AB|h}{2} - 9\)
Obliczam |AB|h
\(P_{ABD}=P_{ABC}\) - podstawą jest AB, wysokością h
\(P_{BCO}=P_{ABC}-P_{ABO}\)
\(P_{AOD}=P_{ABD}-P_{ABO}\)
czyli
\(P_{BCO}=P_{AOD}\)

\(\frac{|AB|h}{2} - 4=\frac{1,5 |AB|h}{2} - 9\\
\frac{1,5 |AB|h}{2}-\frac{|AB|h}{2}=9-4\\
\frac{0,5|AB|h}{2}=5\\
|AB|h=20\)
Obliczam pole trapezu
\(P=\frac{(|AB|+|DC|)h}{2}\\
P=\frac{(|AB|+1,5|AB|)h}{2}\\
P=\frac{2,5|AB|h}{2}\\
P=\frac{2,5 \cdot 20}{2}\\
P=25\)