Najmniejsze pole trójkąta

[Lbubsazob]

Na kole o promieniu długości 4 cm opisano trójkąt prostokątny. Znajdź takie długości boków trójkąta, aby jego pole było najmniejsze.

[anka]

x,y - przyprostokątne trójkąta (x,y>4)
x-4+y-4=x+y-8- przeciwprostokątna trójkąta

Z Pitagorasa
\(x^2+y^2=(x+y-8)^2 \Rightarrow y= \frac{8(x - 4)}{x-8}\)

\(P= \frac{xy}{2}\)
\(P= \frac{8x(x - 4)}{2(x-8)}\)
\(P(x)= \frac{4x^2-16x}{x-8}\)

Szukamy minimum funkcji \(P(x)\)
\(P'(x)= (\frac{4x^2-16x}{x-8})'= \frac{4(x^2-16x+32)}{(x-8)^2}\)
\(\frac{4(x^2-16x+32)}{(x-8)^2} =0\)
\(x^2 - 16x + 32=0\)
\(x=8-4 \sqrt{2}\) - odrzucamy bo x<4
lub \(x=4 \sqrt{2}+8\)

Obliczam \(y\)
\(y= \frac{8(x - 4)}{x-8}\)
\(y= \frac{8(4 \sqrt{2}+8 - 4)}{4 \sqrt{2}+8 -8}\)
\(y=4 \sqrt{2}+8\)

Obliczam przeciwprostokątną
\(x+y-8=4 \sqrt{2}+8+4 \sqrt{2}+8-8=8 \sqrt{2}+8\)

Najmniejsze pole ma trójkąt o bokach \(4 \sqrt{2}+8,4 \sqrt{2}+8, 8 \sqrt{2}+8\)

[Lbubsazob]

Zrobiłam to trochę inaczej, ale w sumie wszystko sprowadza się do jednego.


\(a^2+b^2=c^2 \\
\left(x+4 \right)^2+ \left(y+4 \right)^2= \left(x+y \right)^2 \\
x^2+8x+16+y^2+8y+16=x^2+2xy+y^2 \\
8x+8y+32=2xy \\
8x+32=y(2x-8) \Rightarrow \fbox{$y=\frac{8x+32}{2x-8}$} \\
P_{\triangle}= \frac{(x+4)(y+4)}{2} \\
y+4= \frac{8x+32+8x-32}{2x-8}= \frac{16x}{2x-8} \\
P_{\triangle}= \frac{(x+4)(16x)}{2(2x-8)}= \frac{16x^2+64x}{2(2x-8)}= \frac{4(x^2+4x)}{x-4}\\
P'(x)= \frac{(8x+16)(x-4)-4x^2-16x}{(x-4)^2}= \frac{8x^2-32x+16x-64-4x^2-16x}{(x-4)^2}= \frac{4(x^2-8x-16)}{(x-4)^2} \\
x^2-8x-16=0 \\
\Delta=128 \sqrt{\Delta}=8\sqrt2\\
x_1=4-4\sqrt2 <0 \\
x_2=4+4\sqrt2 \\
\\
a) x+4=4+4+4\sqrt2=\fbox{$8+4\sqrt2$} \\
b) y+4=\frac{16x}{2x-8}= \frac{64+64\sqrt2}{8+8\sqrt2-8}= \frac{512\sqrt2+1024}{128}=\fbox{ $8+4\sqrt2$} \\
c) 2(8+4\sqrt2)^2=2(64+64\sqrt2+32)=192+128\sqrt2 \\
\sqrt{128\sqrt2+192}= \sqrt{(8\sqrt2+8)^2}=8\sqrt2+8\)

Odp. Boki trójkąta muszą mieć długości \(8+4\sqrt2\), \(8+4\sqrt2\), \(8+8\sqrt2\).

[supergolonka]

Wpisane tutaj
https://zadania.info/4950702