Trapez, trójkąt

[prosto.]

1.Dany jest trapez równoramienny ABCD o kącie prostym między przekątnymi i stosunku długości podstaw 1:3. Oblicz pole i obwód trapezu, jeśli wiadomo, że długość przekątnej jest równa 12.
2. Wykaż, że średnia arytmetyczna długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa sumie długości promienia okręgu opisqnego na trójkącie i długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
3.Wysokość CD trójkąta ABC ma długość 4 i dzieli kąt w stosunku 1:2. Oblicz długości boków AB i BC, jeśli wiadomo, że |AC|=5.
4. Krótsza podstawa i ramiona trapezu mają długość a, zaś kąt rozwarty ma miarę 2B.Wyznacz długość przekątnej i dłuższej podstawy tego trapezu.

Proszę o pomoc

[anka]

Zadanie1

Trapez, trójkąt1.png (6.96 KiB) Przejrzano 1526 razy

\(|DC|=b\\
|AB|=3|DC|=3b\\
|AF|=|GB|=(3b-b):2=b\)
Trójkąty AEB i DEC są podobne, skala podobieństwa jest równa
\(k=\frac{3b}{b}=3\)
czyli
\(\frac{|AE|}{|EC|}=3\\
|AE|=3|EC|\)
i
\(|AE|+|EC|=12\\
3|EC|+|EC|=12\\
4|EC|=12\\
|EC|=3\\
|AE|=3\cdot 3\\
|AE|=9\)
Obliczam |DC|
Trójkąt ECD jest prostokątny i równoramienny
\(|DC|^2=|EC|^2+|ED|^2\\
|DC|^2=3^2+3^2\\
|DC|=3 sqrt2\)
Obliczam |AB|
\(|AB|=3|DC|\\
|AB|=3 \cdot 3 sqrt2\\
|AB|=9 sqrt2\)
Obliczam |CB|
Trójkąt BEC jest prostokątny
\(|BC|^2=|BE|^2+|EC|^2\\
|BC|^2=9^2+3^2\\
|BC|^2=81+9\\
|BC|^2=90\\
|BC|=3 sqrt{10}\)
Obliczam |CG|
Trójkąt GBC jest prostokątny
\(|CG|^2=|BC|^2+|GB|^2\\
|CG|^2=(3\cdot 10)^2+(3 sqrt2)^2\\
|CG|^2=90+18\\
|CG|^2=108\\
|CG|=6 sqrt3\)
Wszystkie dane potrzebne do obliczenia pola i obwodu już masz dane. Wystarczy podstawić do wzorów i obliczyć

Zadanie 2

Trapez, trójkąt2.png (16.43 KiB) Przejrzano 1526 razy

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie jego przeciwprostokątnej
\(|AB|=c=2R\\
|CA|=b\\
|CB|=a\\\)
DA, DB - dwusieczne kątów
DF, DG, DH - promienie wystawione w punktach styczności
Z przystawania odpowiednich trójkątów mamy
\(|FA|=|AG|=b-r\\
|HB|=|GB|=a-r\)
Czyli
\(|AG|+|GB|=|AB|\\
b-r+a-r=2R\\
a+b=2R+2r\\
a+b=2(R+r)\\
\frac{a+b}{2}=R+r\)