Wyznacz równanie prostej zawierającej cięciwę okręgu

[irekno]

Środkiem cięciwy okręgu \((x-2)^{2}+(y-4) ^{2}=25\) jest początek układu współrzędnych. Wyznacz równanie prostej zawierającej tą cięciwę.

[anka]

A, B końce cięciwy
O=(0,0)-środek cięciwy
A=(x,y)
B=(x',y')
\(( \frac{x+x'}{2}, \frac{y+y'}{2} )=(0,0)\\
x=-x'\\
y=-y'\)
\(A=(x,y)\\
B=(-x,-y)\)
Obliczam wspólrzędne końców cięciwy
\(\begin{cases} (x-2)^2+(y-4)^2=25 \\ (-x-2)^2+(-y-4)^2=25 \end{cases}\\
\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}\)
lub
\(\begin{cases} x=-2 \\ y=1 \end{cases}\)
\(A=(2,-1), B=(-2,1) lub A=(-2,1), B=(2,-1)\)
Ogólna postać równania cięciwy
\(y=ax+b\)
Ponieważ przechodzi ona przez punkt (0,0), więc
\(0=a\cdot 0+b\\
b=0\)
równanie cięciwy przyjmuje postać
\(y=ax\)
Punkty A, B muszą spełniać to równanie
\(A=(2,-1)\\
y=ax\\
2=a \cdot (-1)\\
a=- \frac{1}{2} \\
y=- \frac{1}{2}x\)