Równoległoboki

[krysia123]

1.Udowodnij że środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku i leżących na zewnątrz tego równoległoboku są wierzchołkami nowego kwadratu
2. Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano trójkąty równoboczne BMC i CND leżące na zewnątrz równoległoboku. Wykaż że trójkąt AMN jest równoboczny
Prosze pomużcie mi;))

[anka]

Zadanie 1

rownolegloboki_1.png (22.86 KiB) Przejrzano 16804 razy

Przekątne kwadratów tworzą z bokami kąty \(45^o\)
\(|<DAB|=|<BCD|=\alpha\\
|<ADC|=|<BCD|=180^o-\alpha\\
|<O_{1}AO_{4}|=|<O_{2}CO_{3}|=\alpha+90^o\\
|<O_{4}DO_{3}|=|<O_{1}BO_{2}|=360^o-(180^o+\alpha+90^o)=\alpha+90^o\)
Trójkąty \(O_{1}AO_{4}, \ O_{2}CO_{3},\ O_{4}DO_{3}, \ O_{1}BO_{2}\) są przystające
Odpowiednie kąty przy wierzchołkach A, C, D, B są równe, a ich dwa boki to połowa przekątnej dużego i małego kwadratu, więc
\(|O_{1}O_{2}|=|O_{2}O_{3}|=|O_{3}O_{4}|=|O_{1}O_{4}|\)
Czyli czworokąt \(O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}\) jest rombem
Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc
\(|<AO_{1}B|=90^o\)
Ponieważ trójkątóy \(O_{1}AO_{4} \ i \ O_{1}BO_{2}\) były przystające, więc
\(|<AC_{1}O_{4}|=|<BO_{1}O_{2}|=\beta\\
|<O_{4}O_{1}O_{2}|=|<O_{4}O_{1}B|+\beta=90^o\)

Romb, którego kąty są proste jest kwadratem.

[anka]

rownolegloboki_2.png (15.74 KiB) Przejrzano 16804 razy

\(|<MCN|=\alpha+120^o\\
|<ABM|=|<ADN|=360^o-(180^o-\alpha+60^o)=\alpha+120^o\)
Trójkąty ABM, MCN i ADN są więc przystające, zatem
||AM|=|MN|=|AN|
Trójkąt AMN jest równoboczny.