Trapez

[Przemek]

1. Podstawa trapezu równoramiennego ABCD wpisanego w okrąg o promieniu R jest jego średnicą, a przekatne trapezu tworzą kąt 6o stopni. Oblicz pole trapezu, gdy R=6.
2.Srodek O koła wpisanego w trapez ABCD, ramię AD jst prostopadłe do podstaw, jest odległy od wierchołków C i D trapezu odpowiednio o 2 i 4 cm. Oblicz pole trapezu.

[anka]

Zadanie 1

Trapez1.png (14.47 KiB) Przejrzano 421 razy

Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.
\(|< ACB|=90^o\\
|< EBC|=180^o-(90^o+60^o)=30^o\\
| < AEB|=180^o-60^o=120^o\\
|< EAB|=|<EBA|=(180^o-120^o):2=30^o\\
| < ABC|=30^o+30^o=60^o\)
Obliczam |CB|
\(cos60^o= \frac{|CB|}{|AB|}\\
\frac{1}{2}= \frac{|CB|}{2R}\\
|CB|=R\)
Obliczam |CF|
\(sin60^o= \frac{|CF|}{|CB|}\\
\frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{|CF|}{R}\\
|CF|= \frac{R \sqrt{3} }{2}\)
Obliczam |FB|
\(cos60^o= \frac{|FB|}{|CB|}\\
\frac{1}{2}= \frac{|FB|}{R}\\
|FB|= \frac{R}{2}\)
Obliczam |DC|
\(|DC|=|AB|-2\cdot |FB|\\
|DC|=2R-2\cdot \frac{R}{2} \\
|DC|=R\)
Obliczam pole trapezu
\(P= \frac{(|AB|+|DC|)\cdot |CF|}{2}\\
P= \frac{(2R+R)\cdot \frac{R \sqrt{3} }{2}}{2}\\
P= \frac{3R^2 \sqrt{3} }{4} \\
P=\frac{3 \cdot 6^2 \sqrt{3} }{4}\\
P=27 \sqrt{3}\)

[anka]

Zadanie 2

Trapez2.png (16.29 KiB) Przejrzano 421 razy

Z \(\Delta EBO\)
\(x^2+r^2=4^2\)
Z \(\Delta OFC\)
\(y^2+r^2=2^2\)
Z \(\Delta JBC\)
\((2r)^2+(x-y)^2=(x+y)^2\)
\(\begin{cases} x^2+r^2=4^2 \\ y^2+r^2=2^2 \\ (2r)^2+(x-y)^2=(x+y)^2 \end{cases}\\
\begin{cases} x^2+r^2=16 \\ y^2+r^2=4 \\ xy=r^2\end{cases}\\
\begin{cases} x^2+r^2=16 \\ y^2+r^2=4 \\ x= \frac{r^2}{y} \end{cases}\\
\begin{cases} (\frac{r^2}{y} )^2+r^2=16 \\ y^2+r^2=4 \\ x= \frac{r^2}{y} \end{cases}\\
\begin{cases} y^2= \frac{r^4}{16-r^2}\\ y^2+r^2=4 \\ x= \frac{r^2}{y} \end{cases}\\
\begin{cases} y^2= \frac{r^4}{16-r^2}\\ \frac{r^4}{16-r^2}+r^2=4 \\ x= \frac{r^2}{y} \end{cases}\\
\begin{cases} y^2= \frac{r^4}{16-r^2}\\ r= \frac{4 \sqrt{5} }{5} \\ x= \frac{r^2}{y} \end{cases}\begin{cases} x= \frac{8 \sqrt{5} }{5} \\ y= \frac{2 \sqrt{5} }{5} \\ r= \frac{4 \sqrt{5} }{5}\end{cases}\)
Obliczam pole trapezu
\(|AB|=x+r=\frac{8 \sqrt{5} }{5}+\frac{4 \sqrt{5} }{5}=\frac{12 \sqrt{5} }{5}\)
\(|DC|=r+y=\frac{4 \sqrt{5} }{5}+\frac{2 \sqrt{5} }{5}=\frac{6 \sqrt{5} }{5}\)
\(|AD|=2r=2\cdot \frac{4 \sqrt{5} }{5}=\frac{8 \sqrt{5} }{5}\)
\(P= \frac{(|AB|+|DC|)|AD|}{2} \\
P= \frac{(\frac{12 \sqrt{5} }{5}+\frac{6 \sqrt{5} }{5})\cdot \frac{8 \sqrt{5} }{5}}{2}\\
P=14,4\)