forum.zadania.info

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny, którego wysokoś opuszczona na przeciwprostokątną ma długośc 3

Wysokość ta dzieli trójkąt na dwa przystające równoramienne trójkąty prostokątne. Przeciwprostokątna ma więc długość 6. Przyprostokątne mają długość \(3\sqrt{2}\).
Pole trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot3=9\)
Obwód trójkata:
\(Ob=6+6\sqrt{2}\)
r- promień okręgu wpisanego
\(P=\frac{1}{2}Ob\cdot\ r\\\frac{1}{2}(6+6\sqrt{2})\cdot\ r=9\\r=\frac{9}{3\sqrt{2}+3}\cdot\frac{3\sqrt{2}-3}{3\sqrt{2}-3}\\r=\frac{9(3\sqrt{2}-3)}{18-9}\\r=3(\sqrt{2}-1)\)

Można prościej, jak znamy już \(a\) oraz \(b\) to z rysunku widać że:

\(b = 2(a-r)
3=3\sqrt{2} -r
r = 3(\sqrt{2}-1)\)

Lub jeszcze inaczej bez liczenia \(a\) oraz \(b\):

\(r+r\sqrt{2} = 3
r = \frac 3 {1+\sqrt{2}}
r = 3(\sqrt{2}-1)\)

super zapomniałam o tym wzorze z promieniem;/ dzięki wielkie;D