forum.zadania.info

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa 3 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Narysuj okrąg i opisz na nim trójkąt prostokątny ABC.Umówmy się,że C to wierzchołek kąta prostego.
Poprowadź promienie okręgu do punktów styczności z bokami trójkąta.
Otrzymasz kwadrat CKSL o boku 3.K to punkt styczności z bokiem BC,L to punkt styczności z bokiem CA,
P to punkt styczności z bokiem AB.
|KB|=|PB| = m i |AP| = |AL|= 25 - m
|AC| = 3+25 - m
|BC| = 3 + m
|AB| = 25
Tw.Pitagorasa : (28 - m)^2 + (3 + m)^2 = 25^2
Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia i uporządkowaniu równania masz:
mm -25m + 84 =0
delta = 289 pierw.delta = 17
m = 4========== > |AC|=24 , |BC| = 7 to pole trójkąta =0,5*24*7 = 12*7= 84
Dla m=21 boki trójkąta będą takie same,tylko z zamianą nazw,a pole = 84

Możesz też obliczać pole ze wzoru: P =r * pół obwodu = 3 *(7+24+25)/2 = 3*28 = 84 cm^2

r=3
c=25
a i b - przyprostokatne

\(r=\frac{a+b-c}{2}\)
\(3=\frac{a+b-25}{2}\)
\(6=a+b-25\)
\(a+b=31\)
\(\begin{cases}a+b=31\\a^2+b^2=25^2 \end{cases}\)(twierdzenie pitagorasa)
liczysz ab, powinno wyjsc a=7 b=24 (lub odwrotnie)
podstawiasz do wzoru na pole
\(P=\frac{ab}{2}=84\)

dziękuję.