promień koła w kwadracie

[attec18]

Ile wynosi promień największego koła, który można narysować wewnątrz kwadratu poniżej, tak aby obwód koła nie miał nic wspólnego z wnętrzem czarnego kwadratu?

[korki_fizyka]

11 - 3/ 2 =

[attec18]

Czemu 11 - 3/ 2 ? Możesz wyjaśnić?

[Tulio]

Przedstawiam sobie kwadraty na układzie współrzędnych. Wierzchołki dużego kwadratu:
\(A \left( 0,0\right), B \left( 11,0\right), C \left( 11,11\right), D \left( 0, 11\right) \)
i małego kwadratu:
\(E \left( 8,1\right), F \left( 9,1\right), G \left( 9,2\right), H \left( 8, 2\right) \)
łątwo zauważyć, że okrąg wpisany w kwadrat \( \left( x-5,5\right)^2+ \left( y-5,5\right)^2 = 5,5^2\) przecina mniejszy kwadrat. Jest to ograniczenie górne. Również łatwo wyliczyć okrąg o środku w \( \left( 5,5;5,5\right) \) (przecięcie przekatnych kwadratu \(ABCD\)) przechodzącego przez lewy górny wierzchołek kwadratu \(H\): \( \left( x-5,5\right)^2 + \left( y-5,5\right)^2 = 18,5\). Jest to ograniczenie dolne.
Wiemy, że szukany \(R\) ma własność: \( 4.3 \approx \sqrt{18,5} <R<5,5\)
Mamy dwa przypadki. Albo najwiekszym takim okręgiem (kołem) jest okrąg nie zawierający małego czarnego kwadraciku (na lewo i w górę od niego), albo zawierający go, ze środkiem przesuniętym w prawy dolny róg. Rysunkowo:

chodzi o pomarańczowy lub fioletowy okrąg.
Znajdźmy rodzinę okręgów pomarańczowych ("niemal" przechodzących przez \(H\) i zawartych w kwadracie \(ABCD\)):
\(P: \left( x-a\right)^2 + \left( y-b\right)^2 = R_P^2 \)
wrzucamy \( \left( x,y\right) = H \left( 8,2\right) \)
\(P: \left( 8-a\right)^2 + \left( 2-b\right)^2 = R_P^2 \)
po krótkich wyliczeniach otrzymujemy:
\(R_P = \sqrt{a^2-16a+b^2-4b+68} \)
Pamiętamy o warunkach zawartości w kwadracie \(ABCD\): \(a+R_P \le 11, a-R_P \ge 0, b+R_P \le 11, b-R_P \ge 0\).
Promień będzie największy, gdy wartość pod pierwiastkiem będzie największa. Szukamy zatem \(f_{max} \left( a,b\right) \) dla:
\(f \left( a,b\right) = a^2-16a+b^2-4b+68\)

Funkcja ta posiada lokalne minimum, ale nie posiada lokalnego maksimum. Zwiększa zatem swoją wartość zmierzając do końców przedziałów.
Funkcja osiąga maksimum na końcach przedziałów, tj. \(a-R_P = 0 \wedge b+R_p = 11\) (o ile spełnienie obu jednocześnie jest możliwe). Wtedy:
\(a=R_P \wedge b=11-R_P=11-a\)
\(a^2 = a^2-16a+b^2-4b+68\)
\(16a = \left( 11-a\right)^2 -4 \left( 11-a\right) + 68\)
\(...\)
\(a=R_P=5, b=6\)
Okrąg taki istnieje i spełnia warunki więc jest największym możliwym okręgiem/kołem o którym mowa (ewentualnie \(R_P=5-\delta\) jeśli nie może przechodzić przez wierzchołek kwadratu \(H\), gdzie \(\delta\) - nieskończenie mała liczba większa od \(0\)).

Podobnie drugi przypadek - fioletowy. Przechodzimy tym razem przez punkt \(F\):
\(F: \left( 9-a\right)^2 + \left( 1-b\right)^2 = R_F^2 \)
\(R_F = \sqrt{a^2-18a+b^2-2b+82}\)
\(g \left( a,b\right) = a^2-18a+b^2-2b+82\)
Funkcja ta posiada lokalne minimum, ale nie posiada lokalnego maksimum. Zwiększa zatem swoją wartość zmierzając do końców przedziałów.
Funkcja osiąga maksimum na końcach przedziałów, tj. \(a+R_F = 11 \wedge b-R_F = 0\) (o ile spełnienie obu jednocześnie jest możliwe). Wtedy:
\(b^2=a^2-18a+b^2-2b+82\)
\(2b=a^2-18a+82\)
\(2b= \left( 11-b\right) ^2-18\left( 11-b\right)+82\)
\(b=5=R_F, a=6\)
Zaznaczyłem na rysunku - kolorem czerwonym nasz najlepszy okrąg z pomarańczowych, niebieskim - najlepszy okrąg z fioletowych. Wygląda poprawnie i spełnia ograniczenia wyprowadzone na początku: