Trapez - dowód

[anilewe_MM]

Dany jest trapez o podstawach a i b opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, \(4r^2 \le ab\).

[Jerry]

Fakty, które wykorzystam a które znasz (?):

1. Odcinki stycznych są równej długości.
2. Ze środka okręgu wpisanego w trapez jego ramiona są widoczne pod kątem prostym.
3. Długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną jest średnią geometryczną długości odcinków, na które spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną.
4. Dla liczb dodatnich \(p,\ q\) zachodzi porządek \(2\sqrt{pg}\le (p+q)\).

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, wszystkie zmienne są dodatnie, z szybkimi wnioskami z 1. i 2.:

Z \(\Delta ASD,\ \Delta BCS\) i 3.:
\[\begin{cases}r=\sqrt{tz}\\ r=\sqrt{xy}\end{cases}\]
Zatem
\[L_T= 4r^2=4\sqrt{tz}\cdot\sqrt{xy}=4\sqrt{xyzt}=2\sqrt{tx}\cdot2\sqrt{yz}\nad{\text{z 4.}}{\le}(t+x)(z+y)=ab=P_T\quad \text{CKD} \]
Pozdrawiam

[edited] \(S\) jest środkiem okręgu - zgubiłem na rysunku

[janusz55]

Autor tego zadania przyjął drugą wersję definicji trapezu " czworokąta wypukłego mającego tylko jedną parę boków równoległych".

Dla równoległoboku powyższa równość nie zachodzi.

Oryginalna wersja rozwiązania zadania.

[Tulio]

Dla równoległoboku powyższa równość nie zachodzi.

Nierówność. Zachodzi. Napisane jest "opisany na okręgu". Równoległobok może być opisany na okręgu tylko jeśli jest rombem (\(2a=2b\)). Dla rombu podana nierówność zachodzi, więc autor nie musiał przyjmować definicji trapezu niebędącego równoległobokiem.

[janusz55]

Proszę o dowód.

[Jerry]

Autor tego zadania przyjął drugą wersję definicji trapezu " czworokąta wypukłego mającego tylko jedną parę boków równoległych".

Proszę o źródło tej wiedzy.

Dla równoległoboku powyższa równość nie zachodzi.

Dokładniej dla dowolnego rombu - równość nie zachodzi, nierówność - zachodzi. Równość zachodzi dla kwadratu , który jest szczególnym przypadkiem trapezu w ogólnie przyjętej, nie niszowej, definicji.

Proszę o dowód.

Czego? Tezy zadania - jest wyżej!

Zdrowia!

[janusz55]

To nie jest dowód tej tezy.

Dziękuję wzajemnie.

[Jerry]

Oświecisz nas, jak powinien wyglądać ten dowód, o Panie?

[janusz55]

Dzisiaj Wielki Piątek dzień ciemności - nie oświecenia.

https://www.youtube.com/watch?v=uLwDJPmL1sY

[Tulio]

Dzisiaj Wielki Piątek dzień ciemności - nie oświecenia.

https://www.youtube.com/watch?v=uLwDJPmL1sY

Ale tam jest inne zadanie - z równością.

[Tulio]

Proszę o dowód.

Dowód.
Dla dowolnego rombu mamy \(a=b\). Musimy udowodnić \(4r^2 \le ab\) (bo takie my mamy zadanie - inne niż na yt!). Czyli w rombie mamy pokazać: \(4r^2 \le a^2\).
W rombie zachodzi \(h=2r\) zaś z kąta ostrego rombu możemy zapisać \(\sin \alpha = \frac{h}{a}\), czyli \(h=a\cdot \sin \alpha \), gdzie \(0< \sin \alpha < 1\).
Ostatecznie mamy:
\(4r^2 = \left( 2r\right)^2 = h^2 = a^2\cdot \sin^2 \alpha < a^2 <= a^2\)
Co należało dowieść.

[Jerry]

Dzisiaj Wielki Piątek dzień ciemności - nie oświecenia.

Przykre...

https://www.youtube.com/watch?v=uLwDJPmL1sY

Ale już wiemy, skąd wiedza i wcześniejsze hipotezy o "intencjach autora zadania"
Tylko rozwiązanie spod linku nie jest rozwiązaniem dyskutowanego w tym wątku zadania - porównaj, proszę, treści tych zadań i, ponawiam prośbę, zapoznaj nas ze swoim rozwiązaniem.

Miłego dnia

[Jerry]

Jest jeden pozytyw z tej burzy

... Równość zachodzi dla kwadratu ...

co wynikało w moim dowodzie z równości \(t=x\) i \(z=y\) w nierówności pomiędzy średnimi (4.) i było moją nadinterpretacją. Przepraszam. Powinno być, choć treść zadania tego nie oczekuje,:
Równość zachodzi dla trapezu równoramiennego.

Pozdrawiam

[janusz55]

Rozwiązując to zadanie z nierównością a nie tylko z równością powinno się uwzględnić drugi przypadek - w dowodzie tego zabrakło.

[Tulio]

Rozwiązując to zadanie z nierównością a nie tylko z równością powinno się uwzględnić drugi przypadek - w dowodzie tego zabrakło.

Jaki jest drugi przypadek? Przecież dowód Jerrego działa również dla równoległoboku (rombu) więc go uwzględnia.